21．（本小题满分 13 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1-\mathrm{x}}{1+x^{2}} e^{x}$．
（I）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间；
（II）证明：当 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)\left(\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}\right)$ 时， $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}<0$．
参考答案(1) 函数的定义域为 $(-\infty,+\infty), f^{\prime}(x)=\frac{-x\left[(x-1)^{2}+2\right]}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} e^{x}$，当 $x<0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$；当 $x>0$ 时，$f^{\prime}(x)<0$；所以单调增区间为 $(-\infty, 0)$，单调减区间为 $(0,+\infty)$; (2) 当 $x<1$ 时，由于 $\frac{1-x}{1+x^{2}}>0, e^{x}<0$，故 $f(x)>0$；同理当 $x>1$ 时，$f(x)<0$； 当 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ 时，不妨设 $x_{1}<x_{2}$，由①$x_{1} \in(-\infty, 0), x_{2} \in(0,1)$， 下面证明：$\forall x \in(0,1), f(x)<f(-x)$，即证 $\frac{1-x}{1+x^{2}} e^{x}<\frac{1+x}{1+x^{2}} e^{-x}$，此不等式等价于 $(1-x) e^{x}-\frac{1+x}{e^{x}}<0$，令 $g(x)=(1-x) e^{x}-\frac{1+x}{e^{x}}$，则 $g^{\prime}(x)=-x e^{-x}\left(e^{2 x}-1\right)$； 当 $x \in(0,1)$ 时，$f(x)<f(-x)$；而 $x_{2} \in(0,1), f\left(x_{2}\right)<f\left(-x_{2}\right)$，从而 $f\left(x_{1}\right)<f\left(-x_{1}\right)$，由于 $x_{1},-x_{2} \in(-\infty, 0), f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增，所以 $x_{1}<-x_{2}$，即 $x_{1}+x_{2}<0$