2016_新课标 II 卷 (2016·理)
23．在直角坐标系 xOy 中，圆C的方程为 $(\mathrm{x}+6)^{2}+\mathrm{y}^{2}=25$ ．
（ I ）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程 ；
（II）直线 $l$的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=t \cos \alpha \\ y=t \sin \alpha\end{array}\right.$（t为参数），I与C交与A，B两点，$|A B|= \sqrt{10}$ ，求 $I$ 的斜率．
【考点】 J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】（I）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用 $\rho^{2}=x^{2}+y^{2}, x=\rho \cos \alpha$ ， $\mathrm{y}=\rho \sin \alpha$ ，能求出圆C的极坐标方程．
（II）由直线 $l$的参数方程求出直线 $l$的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线 $l$的斜率．
【解答】解：（ I ）∵ 圆C的方程为 $(x+6)^{2}+y^{2}=25$ ，
$\therefore x^{2}+y^{2}+12 x+11=0$ ，
$\because \rho^{2}=x^{2}+y^{2}, x=\rho \cos \alpha, y=\rho \sin \alpha$,
$\therefore \mathrm{C}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}+12 \rho \cos \alpha+11=0$ ．
（II）∵ 直线的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=t \cos \alpha \\ y=t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），
$\therefore \mathrm{t}=\frac{\mathrm{x}}{\cos \alpha}$ ，代入 $\mathrm{y}=\mathrm{t} \sin \alpha$ ，得：直线 $l$ 的一般方程 $\mathrm{y}=\tan \alpha \cdot \mathrm{x}$ ，
$\because \mid$ 与 C 交与 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，$|\mathrm{AB}|=\sqrt{10}$ ，圆 C 的圆心 $\mathrm{C}(-6,0)$ ，半径 $\mathrm{r}=5$ ，
圆心到直线的距离 $\mathrm{d}=\sqrt{\mathrm{r}^{2}-\left(\frac{|\mathrm{AB}|}{2}\right)^{2}}$ ．
∴ 圆心 $\mathrm{C}(-6,0)$ 到直线距离 $\mathrm{d}=\frac{|-6 \tan \alpha|}{\sqrt{1+\tan ^{2} \alpha}}=\sqrt{25-\frac{10}{4}}$ ，
解得 $\tan ^{2} \alpha=\frac{5}{3}, \quad \therefore \tan \alpha= \pm \sqrt{\frac{5}{3}}= \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$ ．
$\therefore \mathrm{I}$ 的斜率 $\mathrm{k}= \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$ ．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题 ，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用。