2016 新课标 II 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知 $z=(m+3)+(m-1) i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是

2．（5分）已知集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{x \mid(x+1)(x-2)<0, x \in Z\}$ ，则 $A \cup B$等于

3．（5分）已知向量 $\vec{a}=(1, m), \vec{b}=(3,-2)$ ，且 $(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $m=($

4．（5分）圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-8 y+13=0$ 的圆心到直线 $a x+y-1=0$ 的距离为 1 ，则 $a=$（

5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） 

6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为   

7．（5分）若将函数 $\mathrm{y}=2 \sin 2 \mathrm{x}$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为

8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的 $\mathrm{x}=2, \mathrm{n}=2$ ，依次输入的 a 为 $2,2,5$ ，则输出的 $\mathrm{s}=$ 

9．（5分）若 $\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$（ ）

10．（5分）从区间 $[0,1]$ 随机抽取 2 n 个数 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{y}_{2}, \ldots, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}$ 构成 n个数对 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \ldots\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $\pi$ 的近似值为（）

11．（5分）已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左，右焦点，点 $M$ 在 $E$ 上，$M F_{1}$与 $x$ 轴垂直， $\sin \angle M F_{2} F_{1}=\frac{1}{3}$ ，则 $E$ 的离心率为（ ）

12．（5分）已知函数 $f(x)(x \in R)$ 满足 $f(-x)=2-f(x)$ ，若函数 $y=\frac{x+1}{x}$ 与 $y=f(x)$ 图象的交点为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{m}, y_{m}\right)$ ，则 $\sum_{i=1}^{m}\left(x_{i}+\right. \left.y_{i}\right)=(\quad)$

13．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\cos A=\frac{4}{5}, \cos C=\frac{5}{13}$ ， $\mathrm{a}=1$ ，则 $\mathrm{b}=-\frac{21}{13}$－

14．（5分）$\alpha, \beta$ 是两个平面，$m, n$ 是两条直线，有下列四个命题： ①如果 $m \perp n, m \perp \alpha, n \| \beta$ ，那么 $\alpha \perp \beta$ 。 ②如果 $\mathrm{m} \perp \alpha, \mathrm{n} \| \alpha$, 那么 $\mathrm{m} \perp \mathrm{n}$ 。 ③如果 $\alpha \| \beta, ~ m \subset \alpha, ~$ 那么 $m \| \beta$ 。 ④如果 $\mathrm{m}\|\mathrm{n}, ~ \alpha\| \beta$ ，那么 m 与 $\alpha$ 所成的角和 n 与 $\beta$ 所成的角相等。 其中正确的命题是②③④（填序号）

15．（5分）有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：＂我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ＂，乙看了丙的卡片后说：＂我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ＂，丙说：＂我的卡片上的数字之和不是 $5^{\prime \prime}$ ，则甲的卡片上的数字是 $\_\_\_\_$ 1和3。

16．（5分）若直线 $y=k x+b$ 是曲线 $y=\ln x+2$ 的切线，也是曲线 $y=\ln (x+1)$ 的切线 ，则 $\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ $1-\ln 2$。

17．（12分）$S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1}=1, S_{7}=28$ ，记 $b_{n}=\left[\lg a_{n}\right]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0,[\lg 99]=1$ 。 （I）求 $\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{11}, \mathrm{~b}_{101}$ ； （II）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 1000 项和。

18．（12分）某保险的基本保费为 a （单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： | 上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\geq 5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 保费 | 0.85 a | a | 1.25 a | 1.5 a | 1.75 a | 2 a | 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： | 一年内出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\geq 5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 概率 | 0.30 | 0.15 | 0.20 | 0.20 | 0.10 | 0.05 | （I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 $60 \%$的概率； （III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值。

19．（12分）如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O, A B=5, A C=6$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A D, C D$ 上，$A E=C F=\frac{5}{4}, E F$ 交于 $B D$ 于点 $H$ ，将 $\triangle D E F$ 沿 $E F$ 折到 $\triangle D^{\prime} E F$ 的位置，$O D^{\prime}=\sqrt{10}$ ． （ I ）证明： $\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{H} \perp$ 平面 ABCD ； （II）求二面角 $B-D^{\prime} A-C$ 的正弦值． 

20．（12分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{3}=1$ 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，斜率为 k $(k>0)$ 的直线交 $E$ 于 $A, M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，$M A \perp N A$ ． （I）当 $t=4,|A M|=|A N|$ 时，求 $\triangle A M N$ 的面积； （II）当 $2|A M|=|A N|$ 时，求 $k$ 的取值范围。

21．（12分）（I）讨论函数 $f(x)=\frac{x-2}{x+2} e^{x}$ 的单调性，并证明当 $x>0$ 时，（ $x-$ 2）$e^{x}+x+2>0$ ； （II）证明：当 $a \in[0,1)$ 时，函数 $g(x)=\frac{e^{x}-a x-a}{x^{2}}(x>0)$ 有最小值．设 $g$ （x）的最小值为 $h$（a），求函数 $h$（a）的值域．

22．（10分）如图，在正方形 ABCD 中， $\mathrm{E}, \mathrm{G}$ 分别在边 $\mathrm{DA}, \mathrm{DC}$ 上（不与端点重合），且 $\mathrm{DE}=\mathrm{DG}$ ，过 D 点作 $\mathrm{DF} \perp \mathrm{CE}$ ，垂足为 F ． （I）证明：B，C，G，F 四点共圆； （II）若 $A B=1, E$ 为 $D A$ 的中点，求四边形 $B C G F$ 的面积． 

23．在直角坐标系 xOy 中，圆C的方程为 $(\mathrm{x}+6)^{2}+\mathrm{y}^{2}=25$ ． （ I ）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程 ； （II）直线 $l$的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=t \cos \alpha \\ y=t \sin \alpha\end{array}\right.$（t为参数），I与C交与A，B两点，$|A B|= \sqrt{10}$ ，求 $I$ 的斜率．

24．已知函数 $f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x+\frac{1}{2}\right|$ ，$M$ 为不等式 $f(x)<2$ 的解集。 （I）求 M ； （II）证明：当 $a, b \in M$ 时，$|a+b|<|1+a b|$ ．