2014_退役省自主命题 (2014·理)
8．如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为线段 $B D$ 的中点．设点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成的角为 $\alpha$ ，则 $\sin \alpha$ 的取值范围是（）
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】B
【解析】
试题分析：设正方体的棱长为 1 ，则 $A_{1} C_{1}=\sqrt{2}, A_{1} C=\sqrt{3}, A_{1} O=O C_{1}=\sqrt{1+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}, O C=\sqrt{\frac{1}{2}}$ ，所以 $\cos \angle A_{1} O C_{1}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-2}{2 \times \frac{3}{2}}=\frac{1}{3}, \sin \angle A_{1} O C_{1}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \cos \angle A_{1} O C=\frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-3}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \sin \angle A_{1} O C=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
又直线与平面所成的角小于等于 $90^{\circ}$ ，而 $\angle A_{1} O C$ 为钝角，所以 $\sin \alpha$ 的范围为 $\left[\frac{\sqrt{6}}{3}, 1\right]$ ，选 B．
【考点定位】空间直线与平面所成的角。