2013_退役省自主命题 (2013·理)
16、定义＂正对数＂： $\ln ^{+} x=\left\{\begin{array}{ll}0, & 0<x<1, \\ \ln x, & x \geq 1 .\end{array}\right.$ 现有四个命题：
①若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}\left(a^{b}\right)=b \ln ^{+} a$ ；
②若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}(a b)=\ln ^{+} a+\ln ^{+} b$ ；
③若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}\left(\frac{a}{b}\right) \geq \ln ^{+} a-\ln ^{+} b$ ；
④若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}(a+b) \leq \ln ^{+} a+\ln ^{+} b+\ln 2$ ．
其中的真命题有 $\_\_\_\_$ ．（写出所有真命题的编号）
【解答】
（4分）（2013．山东）定义＂正数对＂： $\ln ^{+} \mathrm{x}=\left\{\begin{array}{lr}0, & 0<\mathrm{x}<1 \\ \ln \mathrm{x}, & \mathrm{x} \geqslant 1\end{array}\right.$ ，现有四个命题：
①若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}\left(a^{b}\right)=b \mid n^{+} a$ ；
②若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}(a b)=\ln n^{+} a+\ln n^{+} b$ ；
③若 $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$ ，则 $\ln ^{+}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right) \geqslant \ln ^{+} \mathrm{a}-\ln ^{+} \mathrm{b}$ ；
④若 $a>0, b>0$ ，则 $\ln ^{+}(a+b) \leqslant \ln n^{+} a+\ln n^{+} b+2$ 。
其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）
考点：命题的真假判断与应用。
专题：综合题；压轴题；新定义。
分析：由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对 $a, b$ 分类讨论，判断出每个命题的真假
解答：解：对于（1），由定义，当 $a \geqslant 1$ 时，$a^{b} \geqslant 1$ ，故 $\left|n^{+}\left(a^{b}\right)=\left|n\left(a^{b}\right)=b\right| n a\right.$ ，又 $\left.b\right| n^{+} a=b \mid n a$ ，故有 $\left|n^{+}\left(a^{b}\right)=b\right| n^{+}$ a；
当 $a<1$ 时，$a^{b}<1$ ，故 $\ln ^{+}\left(a^{b}\right)=0$ ，又 $a<1$ 时 $b \mid n^{+} a=0$ ，所以此时亦有 $\ln ^{+}\left(a^{b}\right)=b \mid n^{+} a$ ．由上判断知①正确 ；
对于②，此命题不成立，可令 $\mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=\frac{1}{3}$ ，则 $\mathrm{a} \mathrm{b}=\frac{2}{3}$ ，由定义 $\mathrm{ln}^{+}(\mathrm{ab})=0, \quad \mathrm{ln}^{+} \mathrm{a}+\mathrm{ln}^{+} \mathrm{b}=\ln 2$ ，所以 $\mathrm{ln}^{+}(\mathrm{ab}) \neq \ln \mathrm{n}^{+} \mathrm{a}+\ln \mathrm{n}^{+} \mathrm{b}$ ；由此知②错误；
对于（3），当 $a \geqslant b>0$ 时，$\frac{a}{b} \geqslant 1$ ，此时 $\ln n^{+}\left(\frac{a}{b}\right)=\ln \left(\frac{a}{b}\right) \geqslant 0$ ，当 $a \geqslant b \geqslant 1$ 时， $\ln n^{+} a-\ln b=\ln a-\ln b= \ln \left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)$ ，此时命题成立；当 $\mathrm{a}>1>\mathrm{b}$ 时， $\ln \mathrm{n}^{+} \mathrm{a}-\ln \mathrm{n}^{+} \mathrm{b}=\ln \mathrm{a}$ ，此时 $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}>\mathrm{a}$ ，故命题成立；同理可验证当 $1>\mathrm{a} \geqslant \mathrm{b}>0$ 时， $\ln { }^{+}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right) \geqslant \mathrm{n}^{+} \mathrm{a}-\mathrm{l}_{\mathrm{n}}+\mathrm{b}$ 成立；当 $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}<1$ 时，同理可验证是正确的，故③正确；
对于④，可分 $\mathrm{a} \leqslant 1, \mathrm{~b} \leqslant 1$ 与两者中仅有一个小于等于 1 、两者都大于 1 三类讨论，依据定义判断出（4）是正确的
故答案为①③④
点评：本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想 ，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强。易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错