（14分）如图，在四棱锥 A－EFCB 中， A E F…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【考点】LW：直线与平面垂直； MJ ：二面角的平面角及求法．
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明 $\mathrm{AO} \perp \mathrm{BE}$ ．
（II）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角 F－AE－B 的余弦值；
（III）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求 a 的值
【解答】证明：（ I ）∵ $\triangle A E F$ 为等边三角形， O 为 EF 的中点，
$\therefore \mathrm{AO} \perp \mathrm{EF}$ ，
∵ 平面 $A E F \perp$ 平面 $E F C B$ ，$A O \subset$ 平面 $A E F$ ，
$\therefore A O \perp$ 平面 $E F C B$
$\therefore A O \perp B E$ ．
（ II ）取 BC 的中点 G ，连接 OG ，
∵ EFCB 是等腰梯形，
$\therefore \mathrm{OG} \perp \mathrm{EF}$ ，
由（ I ）知 $A O \perp$ 平面 $E F C B$ ，
$\because \mathrm{OGC}$ 平面 EFCB ，$\therefore \mathrm{OA} \perp \mathrm{OG}$ ，
建立如图的空间坐标系，
则 $O E=a, B G=2, G H=a,(a \neq 2), B H=2-a, E H=B H \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}(2-a)$ ，
则 $E(a, 0,0), A(0,0, \sqrt{3} a), B(2, \sqrt{3}(2-a), 0)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=(-a, 0, \sqrt{3} a), \overrightarrow{\mathrm{BE}}=(a-2,-\sqrt{3}(2-a), 0)$ ，
设平面 AEB 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，

则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EA}}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}-a x+\sqrt{3} a z=0 \\ (a-2) x+\sqrt{3}(a-2) y=0\end{array}\right.$ ，
令 $\mathrm{z}=1$ ，则 $\mathrm{x}=\sqrt{3}, \mathrm{y}=-1$ ，
即 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\sqrt{3},-1,1)$ ，
平面 AEF 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{I}}=(0,1,0)$ ，
则 $\cos <\vec{m}, \vec{n}>=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$
即二面角 $F-A E-B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ；
（III）若 $B E \perp$ 平面 $A O C$ ，
则 $B E \perp O C$ ，
即 $\overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0$ ，
$\because \overrightarrow{\mathrm{BE}}=(\mathrm{a}-2,-\sqrt{3}(2-\mathrm{a}), 0), \overrightarrow{\mathrm{OC}}=(-2, \sqrt{3}(2-\mathrm{a}), 0)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-2(\mathrm{a}-2)-3(\mathrm{a}-2)^{2}=0$ ，
解得 $a=\frac{4}{3}$ ．

【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．