【解答】
A已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$
（1）求 $\boldsymbol{A}^{2}$ ；
（2）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．
【答案】（1）$\left[\begin{array}{ll}11 & 5 \\ 10 & 6\end{array}\right]$ ；
（2）$\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=4$ ．
【解析】
【分析】
（1）利用矩阵的乘法运算法则计算 $\boldsymbol{A}^{2}$ 的值即可；
（2）首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可。
【详解】（1）因为 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$ ，
所以 $\boldsymbol{A}^{2}=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{ll}3 \times 3+1 \times 2 & 3 \times 1+1 \times 2 \\ 2 \times 3+2 \times 2 & 2 \times 1+2 \times 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}11 & 5 \\ 10 & 6\end{array}\right]$ ．
（2）矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式为
$f(\lambda)=\left|\begin{array}{cc}\lambda-3 & -1 \\ -2 & \lambda-2\end{array}\right|=\lambda^{2}-5 \lambda+4$.
令 $f(\lambda)=0$ ，解得 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=4$ ．
【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．
B．在极坐标系中，已知两点 $A\left(3, \frac{\pi}{4}\right), B\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，直线 $l$ 的方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=3$ ．
（1）求 $A, B$ 两点间的距离；
（2）求点 $B$ 到直线 $l$ 的距离．
【答案】①$\sqrt{5}$ ；
（2） 2 ．
【解析】
【分析】
（1）由题意，在 $\triangle O A B$ 中，利用余弦定理求解 $A B$ 的长度即可；
（2）首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点 $B$ 的坐标结合几何性质可得点 $B$ 到直线 $l$ 的距离．
【详解】①设极点为 $O$ ．在 $\triangle O A B$ 中，$A\left(3, \frac{\pi}{4}\right), B\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
由余弦定理，得 $A B=\sqrt{3^{2}+(\sqrt{2})^{2}-2 \times 3 \times \sqrt{2} \times \cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}=\sqrt{5}$ ．
（2）因为直线 $l$ 的方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=3$ ，
则直线 $l$ 过点 $\left(3 \sqrt{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，倾斜角为 $\frac{3 \pi}{4}$ ．
又 $B\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，所以点 $B$ 到直线 $l$ 的距离为 $(3 \sqrt{2}-\sqrt{2}) \times \sin \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{2}\right)=2$ ．
【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
C．设 $x \in \mathbf{R}$ ，解不等式 $|x|+|2 x-1|>2$ ．
【答案】 $\left\{x \left\lvert\, x<-\frac{1}{3}\right.\right.$ 或 $\left.x>1\right\}$ ．
【解析】
【分析】
由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集。
【详解】当 $x<0$ 时，原不等式可化为 $-x+1-2 x>2$ ，解得 $x<-\frac{1}{3}$ ：
当 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时，原不等式可化为 $x+1-2 x>2$ ，即 $x<-1$ ，无解；
当 $x>\frac{1}{2}$ 时，原不等式可化为 $x+2 x-1>2$ ，解得 $x>1$ ．
综上，原不等式的解集为 $\left\{x \left\lvert\, x<-\frac{1}{3}\right.\right.$ 或 $\left.x>1\right\}$ ．
【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．