2016_退役省自主命题 (2016·理)
10．在平面内，定点 $A, B, C, D$ 满足 $|\overrightarrow{D A}|=|\overrightarrow{D B}|=|\overrightarrow{D C}|, \overrightarrow{D A} \cdot \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D B} \cdot \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D C} \cdot \overrightarrow{D A}=-2$ ，动点 $P$ ， $M$ 满足 $|\overrightarrow{A P}|=1, \overrightarrow{P M}=\overrightarrow{M C}$ ，则 $|\overrightarrow{B M}|^{2}$ 的最大值是
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知易得 $\angle A D C=\angle A D B=\angle B D C=120^{\circ},|\overrightarrow{D A}|=|\overrightarrow{D B}|=|\overrightarrow{D C}|=2$ 。以 $D$ 为原点，直线 $D A$为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则 $A(2,0), B(-1,-\sqrt{3}), C(-1, \sqrt{3})$ ．设 $P(x, y)$ ，由已知 $|\overrightarrow{A P}|=1$ ，得 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$ ，又 $\overrightarrow{P M}=\overrightarrow{M C}, \therefore M\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y+\sqrt{3}}{2}\right), \therefore \overrightarrow{B M}=\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+3 \sqrt{3}}{2}\right)$ ，
$\therefore \overrightarrow{B M}^{2}=\frac{(x+1)^{2}+(y+3 \sqrt{3})^{2}}{4}$, 它表示圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$ 上点 $(x, y)$ 与点 $(-1,-3 \sqrt{3})$ 距离平方的 $\frac{1}{4}$, $\therefore\left(|\overrightarrow{B M}|^{2}\right)_{\text {max }}=\frac{1}{4}\left(\sqrt{3^{2}+(-3 \sqrt{3})^{2}}+1\right)^{2}=\frac{49}{4}$ ，故选 B．
考点：1．向量的数量积运算；2．向量的夹角；3．解析几何中与圆有关的最值问题．
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出 $\angle A D C=\angle A D B=\angle B D C=120^{\circ}$ ，且 $|\overrightarrow{D A}|=|\overrightarrow{D B}|=|\overrightarrow{D C}|=2$ ，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出 $A, B, C, D$ 坐标，同时动点 $P$ 的轨迹是圆，$|\overrightarrow{B M}|^{2}=\frac{(x+1)^{2}+(y+3 \sqrt{3})^{2}}{4}$ ，因此可用圆的性质得出最值。