已知平面直角坐标系 x O y 上的区域 D 由不等式组…——2011 高考数学第 6 题答案解析

【解析】B由题知不等式组表示的平面区域 D 是如图中的梯形 OABC ，
$z=\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O A}=|\overrightarrow{O M}| \cdot|\overrightarrow{O A}| \cos \angle A O M=\sqrt{3}|\overrightarrow{O M}| \cos \angle A O M=\sqrt{3}|\overrightarrow{O N}|$ ，所以就是求 $|\overrightarrow{O N}|$

的最大值，$|\overrightarrow{O N}|$ 表示 $\overrightarrow{O M}$ 在 $\overrightarrow{O A}$ 方向上的投影，数形结合观察得当点 M 在点 B 的地方时，$|\overrightarrow{O N}|$ 才最大。

在 $\triangle A O M$ 中， $0 \mathrm{~A}=\sqrt{\sqrt{2}^{2}+1}=\sqrt{3}, 0 \mathrm{~B}=\sqrt{\sqrt{2}^{2}+4}=\sqrt{6}, \mathrm{AB}=2-1=1, \therefore \cos \angle A O M=\frac{\sqrt{3}^{2}+\sqrt{6}^{2}-1^{2}}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}=\frac{2}{3} \sqrt{2}$ ，所以 $z_{\text {max }}=\sqrt{3} \bullet \sqrt{6} \bullet \frac{2}{3} \sqrt{2}=4$ ，所以选择 B