2013_退役省自主命题 (2013·理)
17．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，且
$2 \cos ^{2} \frac{A-B}{2} \cos B-\sin (A-B) \sin B+\cos (A+C)=-\frac{3}{5}$．
（I）求 $\cos A$ 的值；
（II）若 $a=4 \sqrt{2}, b=5$，求向量 $\overrightarrow{B A}$ 在 $\overrightarrow{B C}$ 方向上的投影．
（ I ）$-\frac{3}{5}$；（II）$\frac{\sqrt{2}}{2}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（ I ）$-\frac{3}{5}$；（II）$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【解析】（ I ）由 $2 \cos ^{2} \frac{A-B}{2} \cos B-\sin (A-B) \sin B+\cos (A+C)=-\frac{3}{5}$，得
$[\cos (A-B)+1] \cos B-\sin (A-B) \sin B-\cos B=-\frac{3}{5}$,
即 $\cos (A-B) \cos B-\sin (A-B) \sin B=-\frac{3}{5}$．
则 $\cos (A-B+B)=-\frac{3}{5}$，即 $\cos A=-\frac{3}{5}$．
（ II ）由 $\cos A=-\frac{3}{5}, 0<A<\pi$，得 $\sin A=\frac{4}{5}$，
由正弦定理，有 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，所以 $\sin B=\frac{b \sin A}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由题知 $a>b$，则 $A>B$，故 $B=\frac{\pi}{4}$．
根据余弦定理，有 $(4 \sqrt{2})^{2}=5^{2}+c^{2}-2 \times 5 c \times\left(-\frac{3}{5}\right)$，
解得 $c=1$ 或 $c=-7$（舍去）．
故向量 $\overrightarrow{B A}$ 在 $\overrightarrow{B C}$ 方向上的投影为 $|\overrightarrow{B A}| \cos B=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots 12$ 分
【考点定位】本小题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化等数学思想。不会用二倍角公式降次，对冷点知识＂向量投影＂概念不清致错。