（13 分）已知函数 f(x)=2 x^ 3 -3 x ．…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【考点】51：函数的零点；6E：利用导数研究函数的最值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（I）利用导数求得极值点比较 $f(-2), f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right), f(1)$

的大小即得结论；
（II）利用导数的几何意义得出切线方程 $4 \mathrm{x}_{0}^{3}-6 \mathrm{x}_{0}^{2+t+3=0}$ ，设 $\mathrm{g}(\mathrm{x}) =4 x^{3}-6 x^{2}+t+3$ ，则＂过点 $P(1, t)$ 存在 3 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切＂，等价于＂$g(x)$ 有 3 个不同的零点＂．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；
（III）利用（II）的结论写出即可。
【解答】解：（I ）由 $f(x)=2 x^{3}-3 x$ 得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-3$ ，
令 $f^{\prime}(x)=0$ 得，$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
$\because f(-2)=-10, f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}, f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2}, f(1)=-1$ ，
$\therefore f(x)$ 在区间 $[-2,1]$ 上的最大值为 $\sqrt{2}$ ．
（II）设过点 $P(1, t)$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相切于点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $y_{0}=2 x_{0}^{3}-3 x_{0}$ ，且切线斜率为 $k=6 x_{0}^{2}-3$ ，
∴ 切线方程为 $\mathrm{y}-\mathrm{y}_{0}=\left(6 \mathrm{x}_{0}^{2}-3\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{0}\right)$ ，
$\therefore t-y_{0}=\left(6 x_{0}^{2}-3\right)\left(1-x_{0}\right)$ ，
即 $4 \mathrm{x}_{0}^{3}-6 \mathrm{x}_{0}^{2+t+3}=0$ ，
设 $g(x)=4 x^{3}-6 x^{2}+t+3$ ，
则＂过点 $P(1, t)$ 存在 3 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切＂，等价于＂$g(x)$ 有 3 个不同的零点＂。
$\because g^{\prime}(x)=12 x^{2}-12 x=12 x(x-1)$ ，
$\therefore \mathrm{g}(\mathrm{x})$ 与 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})$ 变化情况如下：

$\therefore g(0)=t+3$ 是 $g(x)$ 的极大值，$g(1)=t+1$ 是 $g(x)$ 的极小值。
当 $g(0)=t+3 \leqslant 0$ ，即 $t \leqslant-3$ 时，$g(x)$ 在区间 $(-\infty, 1]$ 和 $(1,+\infty)$ 上分别至多有一个零点，故 $g(x)$ 至多有 2 个零点．

当 $g(1)=t+1 \geqslant 0$ ，即 $t \geqslant-1$ 时，$g(x)$ 在区间 $(-\infty, 0]$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别至多有一个零点，故 $g(x)$ 至多有 2 个零点。

当 $\mathrm{g} ~(0) ~>0$ 且 $\mathrm{g} ~(1) ~<0$ ，即 $-3<\mathrm{t}<-1$ 时，$\because \mathrm{g}(-1)=\mathrm{t}-7<0, ~ \mathrm{~g} ~(2) =\mathrm{t}+11>0$,
$\therefore g(x)$ 分别在区间 $[-1,0),[0,1)$ 和 $[1,2)$ 上恰有 1 个零点，由于 $g(x)$在区间 $(-\infty, 0)$ 和 $[1,+\infty)$ 上单调，

故 $g(x)$ 分别在区间 $(-\infty, 0)$ 和 $[1,+\infty)$ 上恰有 1 个零点．
综上所述，当过点过点 $\mathrm{P}(1, \mathrm{t})$ 存在 3 条直线与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 相切时， t 的取值范围是 $(-3,-1)$ ．
（III）过点 $A(-1,2)$ 存在 3 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切；
过点 $B(2,10)$ 存在 2 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切；
过点 $C(0,2)$ 存在 1 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切．
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．