2015_退役省自主命题 (2015·理)
9．已知 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{A C},|\overrightarrow{A B}|=\frac{1}{t},|\overrightarrow{A C}|=t$ ，若 $P$ 点是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点，且 $\overrightarrow{A P}=\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{4 \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ ，则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最大值等于
【答案】A
【解析】以 $A$ 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 $B\left(\frac{1}{t}, 0\right), C(0, t)$ ， $\overrightarrow{A P}=(1,0)+4(0,1)=(1,4)$ ，即 $P(1,4)$ ，所以 $\overrightarrow{P B}=\left(\frac{1}{t}-1,-4\right), \overrightarrow{P C}=(-1, \mathrm{t}-4)$ ，因此 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C} =1-\frac{1}{t}-4 t+16=17-\left(\frac{1}{t}+4 t\right)$ ，因为 $\frac{1}{t}+4 t \geq 2 \sqrt{\frac{1}{t} \cdot 4 t}=4$ ，所以 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最大值等于 13 ，当 $\frac{1}{t}=4 t$ ，即 $t=\frac{1}{2}$ 时取等号．
【考点】1、平面向量数量积； 2 、基本不等式．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最。大值问题，本题容易出错的地方是对 $\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}$ 的理解不到位，从而导致解题失败。