2025_北京卷 (2025)
18．某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率。
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 $p$
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设 $X$ 为这 2 名学生中该题选择正确的人数，估计$X=1$ 的概率及 $X$ 的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100％，乙校学生选择正确的概率为85％．设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 $p_{1}, p_{2}$ ，判断 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 的大小（结论不要求证明）．
【答案】①$\frac{4}{5}$
② $0.35, E(X)=1.55$
③$p_{1}
【分析】（1）用频率估计概率即可求解；
（2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及 $X$ 的分布列，从而可求其期望；
（3）根据题设可得关于 $p_{1}, p_{2}$ 的方程，求出其解后可得它们的大小关系。
【小问 1 详解】
估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 $p=\frac{80}{100}=\frac{4}{5}$ ．
【小问 2 详解】
设 A 为＂从甲校抽取 1 人做对＂，则 $P(A)=0.8, P(\bar{A})=0.2$ ，
设 $B$ 为＂从乙校抽取 1 人做对＂，则 $P(B)=0.75, P(\bar{A})=0.25$ ，
设 $C$ 为＂恰有1人做对＂，故 $P(C)=P(A \bar{B})+P(\bar{A} B)=P(A) P(\bar{B})+P(\bar{A}) P(B)=0.35$
依题可知，$X$ 可取0，1，2，
$$ P(X=0)=P(\bar{A} \bar{B})=0.05, \quad P(X=1)=0.35, \quad P(X=2)=0.8 \times 0.75=0.6, $$
故 $X$ 的分布列如下表：
| $X$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $P$ | 0.05 | 0.35 | 0.6 |
故 $E(X)=1 \times 0.35+2 \times 0.6=1.55$ ．
【小问 3 详解】
设 $D$ 为＂甲校掌握这个知识点的学生做该题＂，
因为甲校掌握这个知识点则有 $100 \%$ 的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故 $P(D)+\frac{1}{4}(1-P(D))=0.8$ ，即 $p_{1}+\frac{1}{4} \times\left(1-p_{1}\right)=0.8$ ，故 $p_{1}=\frac{11}{15}$ ，
同理有， $0.85 p_{2}+\frac{1}{4} \times\left(1-p_{2}\right)=0.75$ ，故 $p_{2}=\frac{5}{6}$ ，
故 $p_{1}