2014_退役省自主命题 (2014·文)
18．（本小题满分 12 分）如图 3，已知二面角 $\alpha-M N-\beta$ 的大小为 $60^{\circ}$ ，菱形 $A B C D$ 在面 $\beta$ 内，$A, B$两点在棱 $M N$ 上，$\angle B A D=60^{\circ}, E$ 是 $A B$ 的中点，$D O \perp$ 面 $\alpha$ ，垂足为 $O$ ．
（1）证明：$A B \perp$ 平面 $O D E$ ；
（2）求异面直线 $B C$ 与 $O D$ 所成角的余弦值．
【答案】（1）详见解析②$\frac{3}{4}$
## 【解析】
试题分析：（1）题目已知 $D O \perp \alpha$ ，利用线面垂畐的性质可㝵 $D O-A B$ ，已知角 $D A E$ 和 $D A=2 A E$ ，利用余弦定理即可说明 $A B \perp D E$ ，即 $A B$ 垂直于面 $D O E$ 内两条相交的直线，根据线面垂直的判断即可得到直线 $A B$垂直于面 $D E O$ 。
（2）菱形 $A B C D$ 为菱形可得 $A D / / B C$ ，则 $3 C$ 与 $O D$ 所南，与角 $A D O$ 大小相等，即求 $A D O$ 角的余弦值即可，利用菱形 $A B C D$ 所有边相等和一个角为 6 四可求的 $D E$ 的长度，根据（1）可得 $A B \perp$ 面 $D O E$ ，即角 $D E O$ 为二面角 $\alpha-M N-\beta$ 的平面角为 $60^{\circ}$ 结合 $\triangle D E O$ 为志角三角形与 $D O$ 的长度，即可求的 $D O, O E$长度，再直角 $\triangle A O D$ 中，$A D, O D$ 已知，利而直角三右，形中余弦的定义即可求的角 $A D O$ 的余弦值，进而得到异面直线夹角的余弦值．
试题解析：（1）如图，因为 $D O \perp \alpha, A B \subseteq \alpha$ ，所以 $D O \perp A B$ ，连接 $B D$ ，由题可知 $\triangle A B D$ 是正三角形，又 $E$ 是 $A B$ 的中点，所以 $D E \perp A B$ ，而 $D O \cap D E=D$ ，故 $A B \perp$ 平面 $O D E$ ．
（2）因为 $B C / / A D$ ，所以 $B C$ 与 $O D$ 所成利角等于 $A^{D}$ 与 $O D$ 所成的角，即 $\angle A D O$ 是 $B C$ 与 $O D$ 所成的角，由 （1）可知，$A B \perp$ 平面 $O D E$ ，所以 $A B \perp O E \backsim D E \perp A B$ ，于是 $\angle D E O$ 是二面角 $\alpha-M N-\beta$ 的平面角，从而 $\angle D E O=60^{\circ}$ ，不妨设 $A B=2$ ，则 $A D=2$ ，易知 $D E=\sqrt{3}$ ，在 Rt $\triangle D O E$ 中，$D O=D E \cdot \sin 60^{\circ}=\frac{3}{2}$ ，连接 $A O$ ，在 Rt $\triangle A O D$ 中， $\cos \angle A D O=\frac{D O}{A D}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$ ，所以异面直线 $B C$ 与 $O D$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ ．
【考点定位】异面直线的夹角 二面角 线面垂直