【答案】（I）因为 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，所以 $P D \perp B C$ 。由底面 $A B C D$ 为长方形，有 $B C \perp C D$ ，而 $P D \cap C D=D$ ，所以 $B C \perp$ 平面 $P C D . D E \subset$ 平面 $P C D$ ，所以 $B C \perp D E$ ．又因为 $P D=C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，所以 $D E \perp P C$ ．而 $P C \cap B C=C$ ，所以 $D E \perp$ 平面 $P B C$ ．四面体 $E B C D$ 是一个鳖臑；（II）$\frac{V_{1}}{V_{2}}=4$ ．
【解析】（I）因为 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，所以 $P D \perp B C$ ．由底面 $A B C D$ 为长方形，有 $B C \perp C D$ ，而 $P D \cap C D=D$ ，所以 $B C \perp$ 平面 $P C D . D E \subset$ 平面 $P C D$ ，所以 $B C \perp D E$ ．又因为 $P D=C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，所以 $D E \perp P C$ ．而 $P C \cap B C=C$ ，所以 $D E \perp$ 平面 $P B C$ ．由 $B C \perp$ 平面 $P C D, D E \perp$ 平面 $P B C$ ，可知四面体 $E B C D$ 的四个面都是直角三角形，即四面体 $E B C D$ 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是 $\angle B C D, \angle B C E, \angle D E C, \angle D E B$ ．
（II）由已知，$P D$ 是阳马 $P-A B C D$ 的高，所以 $V_{1}=\frac{1}{3} S_{A B C D} \cdot P D=\frac{1}{3} B C \cdot C D \cdot P D$ ；由（I）知，$D E$ 是鳖臑 $D-B C E$ 的高，$B C \perp C E$ ，所以 $V_{2}=\frac{1}{3} S_{\triangle B C E} \cdot D E=\frac{1}{6} B C \cdot C E \cdot D E$ ．在 Rt $\triangle P D C$ 中，因为 $P D=C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，所以 $D E=C E=\frac{\sqrt{2}}{2} C D$ ，于是 $\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3} B C \cdot C D \cdot P D}{\frac{1}{6} B C \cdot C E \cdot D E}=\frac{2 C D \cdot P D}{C E \cdot D E}=4$ ．
【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题。
【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解。结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力。
