如图，四面体 A B C D 中， A D C D, A…——2022 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）证明详见解析
（2）$\frac{\sqrt{3}}{4}$

## 【解析】

【分析】（1）通过证明 $A C \perp$ 平面 $B E D$ 来证得平面 $B E D \perp$ 平面 $A C D$ ．
（2）首先判断出三角形 $A F C$ 的面积最小时 $F$ 点的位置，然后求得 $F$ 到平面 $A B C$ 的距离，从而求得三棱锥 $F-A B C$ 的体积．

## 【小问 1 详解】

由于 $A D=C D, E$ 是 $A C$ 的中点，所以 $A C \perp D E$ ．
由于 $\left\{\begin{array}{l}A D=C D \\ B D=B D \\ \angle A D B=\angle C D B\end{array}\right.$ ，所以 $\triangle A D B \cong \triangle C D B$ ，
所以 $A B=C B$ ，故 $A C \perp B D$ ，
由于 $D E \cap B D=D, D E, B D$ 】平面 $B E D$ ，
所以 $A C \perp$ 平面 $B E D$ ，
由于 $A C \subset$ 平面 $A C D$ ，所以平面 $B E D \perp$ 平面 $A C D$ ．

## 【小问 2 详解】

## 解法 1：判别几何关系

依题意 $A B=B D=B C=2, \angle A C B=60^{\circ}$ ，三角形 $A B C$ 是等边三角形，
所以 $A C=2, A E=C E=1, B E=\sqrt{3}$ ，
由于 $A D=C D, A D \perp C D$ ，所以三角形 $A C D$ 是等腰直角三角形，所以 $D E=1$ ．
$D E^{2}+B E^{2}=B D^{2}$ ，所以 $D E \perp B E$ ，
由于 $A C \cap B E=E, A C, B E \subset$ 平面 $A B C$ ，所以 $D E \perp$ 平面 $A B C$ ．
由于 $\triangle A D B \cong \triangle C D B$ ，所以 $\angle F B A=\angle F B C$ ，
由于 $\left\{\begin{array}{l}B F=B F \\ \angle F B A=\angle F B C, \text { 所以 } \triangle F B A \cong \triangle F B C, \\ A B=C B\end{array}\right.$
所以 $A F=C F$ ，所以 $E F \perp A C$ ，
由于 $S_{\triangle A F C}=\frac{1}{2} \cdot A C \cdot E F$ ，所以当 $E F$ 最短时，三角形 $A F C$ 的面积最小
过 $E$ 作 $E F \perp B D$ ，垂足为 $F$ ，
在 Rt $\triangle B E D$ 中，$\frac{1}{2} \cdot B E \cdot D E=\frac{1}{2} \cdot B D \cdot E F$ ，解得 $E F=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
所以 $D F=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}, B F=2-D F=\frac{3}{2}$ ，
所以 $\frac{B F}{B D}=\frac{3}{4}$ ，
过 $F$ 作 $F H \perp B E$ ，垂足为 $H$ ，则 $F H / / D E$ ，所以 $F H \perp$ 平面 $A B C$ ，且 $\frac{F H}{D E}=\frac{B F}{B D}=\frac{3}{4}$ ，
所以 $F H=\frac{3}{4}$ ，
所以 $V_{F-A B C}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A B C} \cdot F H=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3} \times \frac{3}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．

## 解法 2：等体积转换

$\because A B=B C, \quad \angle A C B=60^{\circ}, \quad A B=2$

$\therefore \triangle A B C$ 是边长为 2 的等边三角形，
$\therefore B E=\sqrt{3}$
连接 $E F$
$\because \triangle A D B \cong \triangle C D B \therefore A F=C F$
$\therefore E F \perp A C$
∴ 在 $\triangle B E D$ 中，当 $E F \perp B D$ 时，$\triangle \mathrm{AFC}$ 面积最小
$\because A D \perp C D, A D=C D, A C=2, E$ 为 $A C$ 中点
$\therefore \mathrm{DE}=1 \because D E^{2}+B E^{2}=B D^{2}$
$\therefore B E \perp E D$
若 $E F \perp B D$ ，在 $\triangle \mathrm{BED}$ 中， $\mathrm{EF}=\frac{B E \cdot D E}{B D}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$B F=\sqrt{B E^{2}-E F^{2}}=\frac{3}{2}$
$\therefore S_{\triangle B E F}=\frac{1}{2} B F \cdot E F=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}$
$\therefore V_{F-A B C}=V_{A-B E F}+V_{C-B E F}=\frac{1}{3} S_{\triangle B E F} \cdot A C=\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{8} \cdot 2=\frac{\sqrt{3}}{4}$