（14分）四棱锥 P-A B C D，底面为正方形 A B…——2021 高考数学第 17 题答案解析

【解析】：（1）$\because \triangle P A B$ 为等边三角形，且 $E$ 为 $A B$ 中点，$A B=4$ ，
$\therefore P E=2 \sqrt{3}$ ，
又 $P E \perp$ 平面 $A B C D$ ，
∴ 四棱锥 $P-A B C D$ 的体积 $V=\frac{1}{3} P E \cdot S_{\text {正方形 } A B C D}=\frac{1}{3} \times 2 \sqrt{3} \times 4^{2}=\frac{32 \sqrt{3}}{3}$ ．
②$\because P E \perp$ 平面 $A B C D$ ，
$\therefore \angle P F E$ 为 $P F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{\circ}$ ，即 $\angle P F E=45^{\circ}$ ，
$\therefore \triangle P E F$ 为等腰直角三角形，
$\because E, ~ F$ 分别为 $A B, ~ C D$ 的中点，
$\therefore P E=F E=4$ ，
$\therefore P B=\sqrt{P E^{2}+B E^{2}}=2 \sqrt{5}$ ，
$\because A D / / B C$ ，

$\therefore \angle P C B$ 或其补角即为 $P C$ 与 $A D$ 所成角，
$\because P E \perp$ 平面 $A B C D, ~ \therefore P E \perp B C$ ，
又 $B C \perp A B, ~ P E \bigcap A B=E, ~ P E , A B \subset$ 平面 $P A B$ ，
$\therefore B C \perp$ 平面 $P A B, ~ \therefore B C \perp P B$ ，
在 Rt $\triangle \mathrm{PBC}$ 中， $\tan \angle P C B=\frac{P B}{B C}=\frac{2 \sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，
故 $P C$ 与 $A D$ 所成角的大小为 $\arctan \frac{\sqrt{5}}{2}$ ．
【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题。