（16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I 和正四…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（16 分）（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I 和正四棱台形玻璃容器II的高均为 32 cm ，容器I的底面对角线AC的长为 $10 \sqrt{7} \mathrm{~cm}$ ，容器II的两底面对角线 $E G, E_{1} G_{1}$ 的长分别为 14 cm 和 62 cm 。分别在容器 $I$ 和容器 II 中注入水，水深均为 12 cm ．现有一根玻璃棒I，其长度为 40 cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将 I 放在容器 I 中， I 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 $\mathrm{CC}_{1}$ 上，求 I 没入水中部分的长度；
（2）将 I 放在容器 II 中，I 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 $\mathrm{GG}_{1}$ 上，求 I没入水中部分的长度．

容器 I

容器 II

【分析】①设玻璃棒在 $\mathrm{CC}_{1}$ 上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ，过 N 作 $\mathrm{NP} / / \mathrm{MC}$ ，交 AC 于点 P ，推导出 $\mathrm{CC}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, ~ \mathrm{CC}_{1} \perp \mathrm{AC}, ~ \mathrm{NP} \perp \mathrm{AC}$ ，求出 $\mathrm{MC}=30 \mathrm{~cm}$ ，推导出 $\triangle \mathrm{ANP} \sim \triangle \mathrm{AMC}$ ，由此能出玻璃棒I没入水中部分的长度．
（2）设玻璃棒在 $G G_{1}$ 上的点为 $M$ ，玻璃棒与水面的交点为 $N$ ，过点 $N$ 作 $N P \perp$

$E G$ ，交 $E G$ 于点 $P$ ，过点 $E$ 作 $E Q \perp E_{1} G_{1}$ ，交 $E_{1} G_{1}$ 于点 $Q$ ，推导出 $E E_{1} G_{1} G$ 为等腰梯形，求出 $\mathrm{E}_{1} \mathrm{Q}=24 \mathrm{~cm}, \mathrm{E}_{1} \mathrm{E}=40 \mathrm{~cm}$ ，由正弦定理求出 $\sin \angle \mathrm{GEM}=\frac{3}{5}$ ，由此能求出玻璃棒I没入水中部分的长度．

【解答】解：（1）设玻璃棒在 $\mathrm{CC}_{1}$ 上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ，在平面 $A C M$ 中，过 $N$ 作 $N P / / M C$ ，交 $A C$ 于点 $P$ ，
$\because A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正四棱柱，$\therefore C C_{1} \perp$ 平面 $A B C D$ ，
又 $\because \mathrm{ACC} \subset$ 平面 $\mathrm{ABCD}, ~ \therefore \mathrm{CC}_{1} \perp \mathrm{AC}, ~ \therefore \mathrm{NP} \perp \mathrm{AC}$ ，
$\therefore N P=12 \mathrm{~cm}$ ，且 $A M^{2}=A C^{2}+M C^{2}$ ，解得 $M C=30 \mathrm{~cm}$ ，
$\because N P / / M C, \therefore \triangle A N P \sim \triangle A M C$,
$\therefore \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{NP}}{\mathrm{MC}}, ~ \frac{\mathrm{AN}}{40}=\frac{12}{30}$ ，得 $\mathrm{AN}=16 \mathrm{~cm}$ ．
∴ 玻璃棒I没入水中部分的长度为 16 cm ．
（2）设玻璃棒在 $G G_{1}$ 上的点为 $M$ ，玻璃棒与水面的交点为 $N$ ，
在平面 $E_{1} E G G_{1}$ 中，过点 $N$ 作 $N P \perp E G$ ，交 $E G$ 于点 $P$ ，
过点 $E$ 作 $E Q \perp E_{1} G_{1}$ ，交 $E_{1} G_{1}$ 于点 $Q$ ，
$\because \mathrm{EFGH}-\mathrm{E}_{1} \mathrm{~F}_{1} \mathrm{G}_{1} \mathrm{H}_{1}$ 为正四棱台，$\therefore \mathrm{EE}_{1}=\mathrm{G} \mathrm{G}_{1}, \mathrm{EG} / / \mathrm{E}_{1} \mathrm{G}_{1}$ ，
$\mathrm{EG} \neq \mathrm{E}_{1} \mathrm{G}_{1}$,
$\therefore \mathrm{EE}_{1} \mathrm{G}_{1} \mathrm{G}$ 为等腰梯形，画出平面 $\mathrm{E}_{1} \mathrm{EG}_{1}$ 的平面图，
$\because \mathrm{E}_{1} \mathrm{G}_{1}=62 \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{EG}=14 \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{EQ}=32 \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{NP}=12 \mathrm{~cm}$ ，
$\therefore \mathrm{E}_{1} \mathrm{Q}=24 \mathrm{~cm}$ ，
由勾股定理得： $\mathrm{E}_{1} \mathrm{E}=40 \mathrm{~cm}$ ，
$\therefore \sin \angle \mathrm{EE}_{1} \mathrm{G}_{1}=\frac{4}{5}, \quad \sin \angle \mathrm{EGM}=\sin \angle \mathrm{EE}_{1} \mathrm{G}_{1}=\frac{4}{5}, \quad \cos \angle \mathrm{EGM}=-\frac{3}{5}$,
根据正弦定理得：$\frac{\mathrm{EM}}{\sin \angle \mathrm{EGM}}=\frac{\mathrm{EG}}{\sin \angle \mathrm{EMG}}, \therefore \sin \angle \mathrm{EMG}=\frac{7}{25}, \cos \angle \mathrm{EMG}=\frac{24}{25}$ ，
$\therefore \sin \angle \mathrm{GEM}=\sin (\angle \mathrm{EGM}+\angle \mathrm{EMG})=\sin \angle \mathrm{EGM} \cos \angle \mathrm{EMG}+\cos \angle \mathrm{EGMsin} \angle \mathrm{EMG}=\frac{3}{5}$,
$\therefore \mathrm{EN}=\frac{\mathrm{NP}}{\sin \angle \mathrm{GEM}}=\frac{12}{\frac{3}{5}}=20 \mathrm{~cm}$ ．
∴ 玻璃棒I没入水中部分的长度为 20 cm ．

【点评】本题考查玻璃棒I没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．