（5 分）在 ABC 中， a =1, ~b =2, co…——2014 高考数学第 12 题答案解析

【考点】HR：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ ，以及 $\cos \mathrm{C}$ 的值代入求出 c 的值，由 $\cos \mathrm{C}$ 的值求出 $\sin \mathrm{C}$ 的值，再由 a ， c 的值，利用正弦定理即可求出 $\sin \mathrm{A}$ 的值。

【解答】解：∵ 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2, \cos \mathrm{C}=\frac{1}{4}$ ，
∴ 由余弦定理得：$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C=1+4-1=4$ ，即 $c=2$ ；
$\because \cos \mathrm{C}=\frac{1}{4}, \mathrm{C}$ 为三角形内角，
$\therefore \sin \mathrm{C}=\sqrt{1-\cos ^{2} \mathrm{C}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，
∴ 由正弦定理 $\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}$ 得： $\sin \mathrm{A}=\frac{\mathrm{a} \sin \mathrm{C}}{\mathrm{c}}=\frac{1 \times \frac{\sqrt{15}}{4}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{8}$ ．
故答案为： $2 ; \frac{\sqrt{15}}{8}$ ．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．