（12）设函数 f(x) 满足 x^ 2 f^ (x)+2…——2013 高考数学第 13 题答案解析

［答案］：D
［解析］：设 $g(x)=x^{2} f(x)$，则 $g^{\prime}(x)=x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}$，即：
$x^{2} f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}}{x}-2 x f(x)=\frac{e^{x}-2 x^{2} f(x)}{x}$
设 $h(x)=e^{x}-2 x^{2} f(x)$，则 $h(2)=e^{2}-8 f(2)=e^{2}-8 \times \frac{e^{2}}{8}=0, h^{\prime}(x)=e^{x}-2 x^{2} f^{\prime}(x)-4 x f(x)$

$=e^{x}-2\left[x^{2}+2 x f^{\prime}(x)\right]=e^{x}-\frac{2 e^{x}}{x}=\frac{(x-2) e^{x}}{x}$,

当 $00$
当 $x>2$ 时，$h^{\prime}(x)>0, h(x)$ 是单调递增函数，$h(x)>h(2)=0$，故当 $x>0$ 时，$x^{2} f^{\prime}(x) \geq 0$， $f^{\prime}(x) \geq 0, f(x)$ 单调递增，因此 $f(x)$ 没有极大值，也没有极小值，故选 $D$。
［ 考点定位］：本题考查导数的应用。

## 第 II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题－第 22 题为