2014_退役省自主命题 (2014·文)
19．（本小题满分 12 分）
如图，$\triangle A B C$ 和 $\triangle B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B=B C=B D=2, \angle A B C=\angle D B C=120^{\circ}$ ， $\mathrm{E} , \mathrm{~F} , \mathrm{G}$分别为 $\mathrm{AC} , \mathrm{DC} , \mathrm{AD}$ 的中点．
（I）求证：$E F \perp$ 平面 BCG ；
（II）求三棱锥 D－BCG 的体积．
附：椎体的体积公式 $V=\frac{1}{3} S h$ ，其中 S 为底面面积， h 为高．
【答案】（I ）详见解析；（II）$\frac{1}{2}$
## 【解析】
试题分析：（ I ）由已知得，$E F$ 是 $\triangle A D C$ 的中位线，故 $E F / / A D$ ，则可转化为证明 $A D \perp$ 平面 BCG ．易证 $\triangle A B C \cong \triangle D B C$ ，则有 $A C=D C$ ，则任等腰三用形 $A D C$ 和等腰三角形 $A B D$ 中，且 $G$ 是 $A D$ 中点，故 $C G \perp A D, B G \perp A D$ ．从而 $A D \perp$ 平面 BCG ，进而 $E F \perp$ 昰面 BCG ；（II）求四面体体积，为了便于计算底面积和高，往往可采取等体积转化法。由平面 $A B C \perp$ 平面 $B C D$ ，利用面面垂直的性质，易作出面 $B C D$ 的垂线，同时求出点 $A$ 到面 $B C D$ 的距离，从而可求出点 $G$ 到平面 $B C D$ 距离，即四面体 $G-B C D$ 的高，进而求四面体体积．
试题解析：（ I ）证明：由已知得 $\triangle A B C \cong \triangle D B C$ ．因此 $A C=D C$ ．又 $G$ 为 $A D$ 中点，所以 $C G \perp A D$ ；同理 $B G \perp A D$ ；因此 $A D \perp$ 平面 $B G C$ ．X $E F / / A D$ ．所以 $E F \perp$ 平面 BCG ．
（II）在平面 $A B C$ 内．作 $A O \perp B C$ ．交 $C B$ 延长线干 $O$ ．由平面 $A B C \perp$ 平面 $B C D$ ．知 $A O \perp$ 平面 $B D C$ ．又 $G$ 为 $A D$ 中点，因此 $G$ 到平面 $B C D$ 距离 $h$ 是 $A O$ 长度的一半．在 $\triangle A O B$ 中，$A O=A B \cdot \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$ ．
所以 $V_{D-B C G}=V_{G-B C D}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle D B C} \cdot h=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot B D \cdot B C \cdot \sin 120^{\circ} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$ ．
【考点定位】1、直线和平面垂直的判定；2、面面垂直的性质；3、四面体的体积．