（12分）如图，四棱锥 P-A B C D 中， P A…——2016 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LS：直线与平面平行； MI ：直线与平面所成的角．
【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．

【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得N $G \| B C$ ，且 $N G=\frac{1}{2} B C$ ，再由已知得 $A M \| B C$ ，且 $A M=\frac{1}{2} B C$ ，得到 $N G \| A M$ ，且 $N G=A M$ ，说明四边形 $A M N G$ 为平行四边形，可得 $N M \| A G$ ，由线面平行的判定得到

$\mathrm{MN} \|$ 平面 PAB ；
法二、证明 $M N \|$ 平面 $P A B$ ，转化为证明平面 $N E M \|$ 平面 $P A B$ ，在 $\triangle P A C$ 中，过 $N$ 作 $N E \perp A C$ ，垂足为 $E$ ，连接 $M E$ ，由已知 $P A \perp$ 底面 $A B C D$ ，可得 $P A \| N E$ ，通过求解直角三角形得到 $M E \| A B$ ，由面面平行的判定可得平面 $N E M \|$ 平面 $P A B$ ，则结论得证；
（2）连接 CM ，证得 $\mathrm{CM} \perp \mathrm{AD}$ ，进一步得到平面 $\mathrm{PNM} \perp$ 平面 PAD ，在平面 PAD 内，过 $A$ 作 $A F \perp P M$ ，交 $P M$ 于 $F$ ，连接 $N F$ ，则 $\angle A N F$ 为直线 $A N$ 与平面 $P M N$ 所成角。然后求解直角三角形可得直线 $A N$ 与平面PMN所成角的正弦值。

【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，
$\because N$ 为 $P C$ 的中点，
$\therefore N G \| B C$ ，且 $N G=\frac{1}{2} B C$ ，
又 $A M=\frac{2}{3} A D=2, B C=4$ ，且 $A D \| B C$ ，
$\therefore A M \| B C$ ，且 $A M=\frac{1}{2} B C$ ，
则 $N G \| A M$ ，且 $N G=A M$ ，
∴ 四边形AMNG为平行四边形，则NM $\| \mathrm{AG}$ ，
$\because \mathrm{AGC}$ 平面 PAB ， $\mathrm{NM} \not \subset$ 平面 PAB ，
$\therefore \mathrm{MN} \|$ 平面 PAB ；
法二、
在 $\triangle \mathrm{PAC}$ 中，过 N 作 $N E \perp A C$ ，垂足为 $E$ ，连接 $M E$ ，
在 $\triangle A B C$ 中，由已知 $A B=A C=3, B C=4$ ，得 $\cos \angle A C B=\frac{4^{2}+3^{2}-3^{2}}{2 \times 4 \times 3}=\frac{2}{3}$ ，
$\because A D \| B C$,
$\therefore \cos \angle \mathrm{EAM}=\frac{2}{3}$ ，则 $\sin \angle \mathrm{EAM}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，
在 $\triangle \mathrm{EAM}$ ，
$\because \mathrm{AM}=\frac{2}{3} \mathrm{AD}=2, \quad \mathrm{AE}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=\frac{3}{2}$ ，
由余弦定理得： $\mathrm{EM}=\sqrt{\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{AM}^{2}-2 \mathrm{AE} \cdot \mathrm{AM} \cdot \cos \angle \mathrm{EAM}}=\sqrt{\frac{9}{4}+4-2 \times \frac{3}{2} \times 2 \times \frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$ ，

$\therefore \cos \angle \mathrm{AEM}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4}{2 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2}}=\frac{1}{9}$,
而在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{3^{2}+3^{2}-4^{2}}{2 \times 3 \times 3}=\frac{1}{9}$ ，
$\therefore \cos \angle \mathrm{AEM}=\cos \angle \mathrm{BAC}$ ，即 $\angle \mathrm{AEM}=\angle \mathrm{BAC}$ ，
$\therefore A B \| E M$ ，则 $E M \|$ 平面 $P A B$ ．
由 $P A \perp$ 底面 $A B C D$ ，得 $P A \perp A C$ ，又 $N E \perp A C$ ，
$\therefore N E \| P A$ ，则 $N E \|$ 平面 $P A B$ ．
∵ NECEM＝E，
∴ 平面 $N E M \|$ 平面 $P A B$ ，则 $M N \|$ 平面 $P A B$ ；
（2）解：在 $\triangle A M C$ 中，由 $A M=2, A C=3, \cos \angle M A C=\frac{2}{3}$ ，得 $C M^{2}=A C^{2}+A M^{2}-2 A C \cdot \mathrm{AM} \cdot \cos \angle \mathrm{MAC}=9+4-2 \times 3 \times 2 \times \frac{2}{3}=5$.
$\therefore \mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MC}^{2}=\mathrm{AC}^{2}$ ，则 $\mathrm{AM} \perp \mathrm{MC}$ ，
$\because \mathrm{PA} \perp$ 底面 ABCD ， PAC 平面 PAD ，
$\therefore$ 平面 $\mathrm{ABCD} \perp$ 平面 PAD ，且平面 $\mathrm{ABCD} \cap$ 平面 $\mathrm{PAD}=\mathrm{AD}$ ，
$\therefore \mathrm{CM} \perp$ 平面 PAD ，则平面 $\mathrm{PNM} \perp$ 平面 PAD ．
在平面 $P A D$ 内，过 $A$ 作 $A F \perp P M$ ，交 $P M$ 于 $F$ ，连接 $N F$ ，则 $\angle A N F$ 为直线 $A N$ 与平面 $P M$ N 所成角．
在Rt $\triangle \mathrm{PAC}$ 中，由 N 是 PC 的中点，得 $\mathrm{AN}=\frac{1}{2} \mathrm{PC}=\frac{1}{2} \sqrt{\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{PC}^{2}}=\frac{5}{2}$ ，
在Rt $\triangle P A M$ ，由 $P A \cdot A M=P M \cdot A F$ ，得 $A F=\frac{P A \cdot A M}{P M}=\frac{4 \times 2}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，
$\therefore \sin \angle \mathrm{ANF}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AN}}=\frac{\frac{4 \sqrt{5}}{5}}{\frac{5}{2}}=\frac{8 \sqrt{5}}{25}$ ．
∴ 直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 $\frac{8 \sqrt{5}}{25}$ ．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．