过点 (0,-2) 与圆 x^ 2 +y^ 2 -4 x-…——2023 高考数学第 6 题答案解析

## 【答案】B

## 【解析】

**方法一**：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得 $k^{2}+8 k+1=0$ ，利用韦达定理结合夹角公式运算求解．

**方法一**：因为 $x^{2}+y^{2}-4 x-1=0$ ，即 $(x-2)^{2}+y^{2}=5$ ，可得圆心 $C(2,0)$ ，半径 $r=\sqrt{5}$ ，过点 $P(0,-2)$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $A, B$ ，

因为 $|P C|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=2 \sqrt{2}$ ，则 $|P A|=\sqrt{|P C|^{2}-r^{2}}=\sqrt{3}$ ，
可得 $\sin \angle A P C=\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}, \cos \angle A P C=\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，

则 $\sin \angle A P B=\sin 2 \angle A P C=2 \sin \angle A P C \cos \angle A P C=2 \times \frac{\sqrt{10}}{4} \times \frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，
$\cos \angle A P B=\cos 2 \angle A P C=\cos ^{2} \angle A P C-\sin ^{2} \angle A P C=\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}<0$,
即 $\angle A P B$ 为钝角，
所以 $\sin \alpha=\sin (\pi-\angle A P B)=\sin \angle A P B=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ；
法二：圆 $x^{2}+y^{2}-4 x-1=0$ 的圆心 $C(2,0)$ ，半径 $r=\sqrt{5}$ ，
过点 $P(0,-2)$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $A, B$ ，连接 $A B$ ，
可得 $|P C|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=2 \sqrt{2}$ ，则 $|P A|=|P B|=\sqrt{|P C|^{2}-r^{2}}=\sqrt{3}$ ，
因为 $|P A|^{2}+|P B|^{2}-2|P A| \cdot|P B| \cos \angle A P B=|C A|^{2}+|C B|^{2}-2|C A| \cdot|C B| \cos \angle A C B$
且 $\angle A C B=\pi-\angle A P B$ ，则 $3+3-6 \cos \angle A P B=5+5-10 \cos (\pi-\angle A P B)$ ，
即 $3-\cos \angle A P B=5+5 \cos \angle A P B$ ，解得 $\cos \angle A P B=-\frac{1}{4}<0$ ，
即 $\angle A P B$ 为钝角，则 $\cos \alpha=\cos (\pi-\angle A P B)=-\cos \angle A P B=\frac{1}{4}$ ，
且 $\alpha$ 为锐角，所以 $\sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ；
**方法三**：圆 $x^{2}+y^{2}-4 x-1=0$ 的圆心 $C(2,0)$ ，半径 $r=\sqrt{5}$ ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 $y=0$ ，则圆心到切点的距离 $d=2>r$ ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 $y=k x-2$ ，即 $k x-y-2=0$ ，
则 $\frac{|2 k-2|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\sqrt{5}$ ，整理得 $k^{2}+8 k+1=0$ ，且 $\Delta=64-4=60>0$
设两切线斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1}+k_{2}=-8, k_{1} k_{2}=1$ ，
可得 $\left|k_{1}-k_{2}\right|=\sqrt{\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}-4 k_{1} k_{2}}=2 \sqrt{15}$ ，
所以 $\tan \alpha=\frac{\left|k_{1}-k_{2}\right|}{1+k_{1} k_{2}}=\sqrt{15}$ ，即 $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\sqrt{15}$ ，可得 $\cos \alpha=\frac{\sin \alpha}{\sqrt{15}}$ ，
则 $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=\sin ^{2} \alpha+\frac{\sin ^{2} \alpha}{15}=1$ ，

且 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\sin \alpha>0$ ，解得 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ．
故选：B．