（12分）（2016－山东）在如图所示的圆台中， AC 是…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（12分）（2016 • 山东）在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆 O 的直径， EF 是上底面圆 $\mathrm{O}^{\prime}$ 的直径， FB 是圆台的一条母线。
（I）已知 $\mathrm{G}, \mathrm{H}$ 分别为 $\mathrm{EC}, \mathrm{FB}$ 的中点，求证： $\mathrm{GH} \|$ 平面 ABC ；
（II）已知 $\mathrm{EF}=\mathrm{FB}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=2 \sqrt{3}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ ，求二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BC}-\mathrm{A}$ 的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（ I ）取 FC 中点 Q ，连结 $\mathrm{GQ} , \mathrm{QH}$ ，推导出平面 $\mathrm{GQH} \|$ 平面 ABC ，由此能证明 $\mathrm{GH} \|$ 平面 ABC 。
（II）由 $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ ，知 $\mathrm{BO} \perp \mathrm{AC}$ ，以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， $\mathrm{OO}^{\prime}$ 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BC}-\mathrm{A}$ 的余弦值．
【解答】证明：（ I ）取 FC 中点 Q ，连结 $\mathrm{GQ} , \mathrm{QH}$ ，
$\because \mathrm{G} , \mathrm{H}$ 为 $\mathrm{EC} , \mathrm{FB}$ 的中点，
$\therefore \mathrm{GQ}=\frac{1}{2} \mathrm{EF}, \mathrm{QH} \| \frac{1}{2} \mathrm{BC}$ ，
又 $\because \mathrm{EF} \xlongequal{|\mid \mathrm{BO},} \therefore \mathrm{GQ} \xlongequal{\left|\left\lvert\, \frac{1}{2}\right.\right.} \mathrm{BO}$ ，
∴ 平面 $\mathrm{GQH} \|$ 平面 ABC ，
$\because \mathrm{GHc}$ 面 $\mathrm{GQH}, \therefore \mathrm{GH} \|$ 平面 ABC 。
解：（II）$\because \mathrm{AB}=\mathrm{BC}, \quad \therefore \mathrm{BO} \perp \mathrm{AC}$ ，
又 $\because \mathrm{OO}^{\prime} \perp$ 面 ABC ，
∴ 以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， $\mathrm{OO}^{\prime}$ 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 $\mathrm{A}(2 \sqrt{3}, 0,0), \mathrm{C}(-2 \sqrt{3}, 0,0), \mathrm{B}(0,2 \sqrt{3}, 0), \mathrm{O}^{\prime}(0,0,3), \mathrm{F}(0, \sqrt{3}$ ， 3），
$\overrightarrow{\mathrm{FC}}=(-2 \sqrt{3},-\sqrt{3},-3), \overrightarrow{\mathrm{CB}}=(2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}, 0)$ ，

由题意可知面 ABC 的法向量为 $\overrightarrow{00^{\prime}}=(0,0,3)$ ，
设 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}, \mathrm{z}_{0}\right)$ 为面 FCB 的法向量，
则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FC}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}-2 \sqrt{3} \mathrm{x}_{0}-\sqrt{3} \mathrm{y}_{0}-3 \mathrm{z}_{0}=0 \\ 2 \sqrt{3} \mathrm{x}_{0}+2 \sqrt{3} \mathrm{y}_{0}=0\end{array}\right.$ ，
取 $\mathrm{x}_{0}=1$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(1,-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ ，
$\therefore \cos <\overrightarrow{00^{\prime}}, \overrightarrow{\mathrm{n}}>=\frac{\overrightarrow{00^{\prime}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}}{\left|\overrightarrow{00^{\prime}}\right| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{n}}|}=-\frac{\sqrt{7}}{7}$ ．
∵ 二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BC}-\mathrm{A}$ 的平面角是锐角，
∴ 二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BC}-\mathrm{A}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用。