若过点 (2,1) 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2…——2020 高考数学第 5 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 $(a, a), a>0$ ，可得圆的半径为 $a$ ，写出圆的标准方程，利用点 $(2,1)$ 在圆上，求得实数 $a$ 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离．

【详解】由于圆上的点 $(2,1)$ 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 $(a, a)$ ，则圆的半径为 $a$ ，
圆的标准方程为 $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ ．
由题意可得 $(2-a)^{2}+(1-a)^{2}=a^{2}$ ，

可得 $a^{2}-6 a+5=0$ ，解得 $a=1$ 或 $a=5$ ，
所以圆心的坐标为 $(1,1)$ 或 $(5,5)$ ，
圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离均为 $d=\frac{|-2|}{\sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ；
所以，圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
故选：B．
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．