（10分）如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点， O…——2015 高考数学第 22 题答案解析

【考点】N4：相似三角形的判定．
【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）通过 $A D$ 是 $\angle C A B$ 的角平分线及圆 $O$ 分别与 $A B , A C$ 相切于点 $E , F$ ，利用相似的性质即得结论；
（2）通过（1）知 $A D$ 是 $E F$ 的垂直平分线，连结 $O E$ 、 $O M$ ，则 $O E \perp A E$ ，利用 $S_{\triangle A B C} -S_{\triangle A E F}$ 计算即可。

【解答】（1）证明：$\because \triangle A B C$ 为等腰三角形，$A D \perp B C$ ，
$\therefore \mathrm{AD}$ 是 $\angle \mathrm{CAB}$ 的角平分线，
又 ∵ 圆 $O$ 分别与 $A B$ 、 $A C$ 相切于点 $E$ 、 $F$ ，
$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{AF}, \quad \therefore \mathrm{AD} \perp \mathrm{EF}$,
$\therefore \mathrm{EF} \| \mathrm{BC}$ ；
（2）解：由（1）知 $A E=A F, A D \perp E F, \therefore A D$ 是 $E F$ 的垂直平分线，
又 $\because \mathrm{EF}$ 为圆 O 的弦，$\therefore \mathrm{O}$ 在 AD 上，
连结 $O E$ 、 $O M$ ，则 $O E \perp A E$ ，
由AG等于圆 $O$ 的半径可得 $A O=2 O E$ ，
$\therefore \angle \mathrm{OAE}=30^{\circ}, \therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 与 $\triangle \mathrm{AEF}$ 都是等边三角形，
$\because \mathrm{AE}=2 \sqrt{3}, \quad \therefore \mathrm{AO}=4, \quad \mathrm{OE}=2$ ，
$\because \mathrm{OM}=\mathrm{OE}=2, \quad \mathrm{DM}=\frac{1}{2} \mathrm{MN}=\sqrt{3}, \quad \therefore \mathrm{OD}=1$,
$\therefore \mathrm{AD}=5, \quad \mathrm{AB}=\frac{10 \sqrt{3}}{3}$,
∴ 四边形EBCF的面积为 $\frac{1}{2} \times\left(\frac{10 \sqrt{3}}{3}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \times(2 \sqrt{3})^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ ．

【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．