2014_退役省自主命题 (2014·文)
18．（本小题满分 12 分）
在如图所示的多面体中，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 和 $A C C_{1} A_{1}$ 都为矩形。
（I）若 $A C \perp B C$ ，证明：直线 $B C \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；
（II）设 $D, E$ 分别是线段 $B C, C C_{1}$ 的中点，在线段 $A B$ 上是否存在一点 $M$ ，使直线 $D E / /$ 平面 $A_{1} M C$ ？请证明你的结论。
【答案】①证明详见解析；②存在， M 为线段 AB 的中点时，直线 $D E / /$ 平面 $A_{1} M C$ ．
## 【解析】
试题分析：①证直线垂直平面，就是证直线垂直平面内的两条相交直线 已经有 $A C \perp B C$ 了，那么再在平面内找一条直线与 BC 垂直．据题意易得，$A A_{1} \perp$ 平面 ABC ，所以 $A A_{1} \perp B C$ ．由此得 $B C \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．
②首先连结 $A_{1} C$ ，取 $A_{1} C$ 的中点 O ．考虑到 $D, E$ 分别是线段 $B C, C C_{1}$ 的中点，故在线段 $A B$ 上取中点 $M$ ，易得 $D E / / M O$ ．从而得直线 $D E / /$ 平面 $A_{1} M C$ ．
试题解析：（I）因为四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 和 $A C C_{1} A_{1}$ 都是矩形，
所以 $A A_{1} \perp A B, A A_{1} \perp A C$ ．
因为 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ 为平面 ABC 内的两条相交直线，
所以 $A A_{1} \perp$ 平面 ABC ．
因为直线 $B C \subset$ 平面 ABC 内，所以 $A A_{1} \perp B C$
又由已知，$A C \perp B C, A A_{1}, A C$ 为平面 $A C C_{1} A_{1}$ 内的两条相交直线，
所以,$B C \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．
（2）取线段 AB 的中点 M ，连接 $A_{1} M, M C, A_{1} C, A C_{1}$ ，设 O 为 $A_{1} C, A C_{1}$ 的交点．
由已知， O 为 $A C_{1}$ 的中点．
连接 $\mathrm{MD}, \mathrm{OE}$ ，则 $\mathrm{MD}, \mathrm{OE}$ 分别为 $\triangle A B C, \triangle A C C_{1}$ 的中位线．
所以，$M D / / \frac{1}{2} A C, O E / / \frac{1}{2} A C, \therefore M D / / O E$ ，
连接 OM ，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 $D E / / M O$ 。
因为直线 $D E \not \subset$ 平面 $A_{1} M C, M O \subset$ 平面 $A_{1} M C$ ，
所以直线 $D E / /$ 平面 $A_{1} M C$ ．
即线段 AB 上存在一点 M （线段 AB 的中点），使得直线 $D E / /$ 平面 $A_{1} M C$ ．
【考点定位】空间直线与平面的位置关系．