（17）（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， A、…——2009 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
本小题主要考查同角三角函数间的系统、两角和差的三角函数公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力．

解（I）$\because \mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为锐角， $\sin \mathrm{A}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \sin \mathrm{~B}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，

$$ \begin{aligned} & \therefore \cos A=\sqrt{1-\sin ^{2} A}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \cos B=\sqrt{1-\sin ^{2} B}=\frac{3 \sqrt{10}}{10} \\ & \therefore \cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \times \frac{3 \sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{5}}{5} * \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ & \because 0

（II）由（I）知 $\mathrm{C}=\frac{3 \pi}{4}, \therefore \sin \mathrm{C}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 得

$$ \begin{aligned} & \sqrt{5} a=\sqrt{10} b=\sqrt{2} c, \text { 即 } a=\sqrt{2} b, c=\sqrt{5} b \\ & \because \mathrm{a}-\mathrm{b}=\sqrt{2}-1, \\ & \therefore \sqrt{2} b-b=\sqrt{2}-1, \end{aligned} $$

$$ \therefore \mathrm{b}=1 $$

$$ \therefore \mathrm{a}=\sqrt{2}, c=\sqrt{5} \text {. } $$