（本小题满分 14 分）。 设向量 a =(4 cos α…——2009 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
【解析】由 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c}_{\text {垂直，}}$

$\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c})=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}=0$,
即 $4 \sin (\alpha+\beta)-8 \cos (\alpha+\beta)=0, \tan (\alpha+\beta)=2$ ；
$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=(\sin \beta+\cos \beta, 4 \cos \beta-4 \sin \beta)$
$|\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|^{2}=\sin ^{2} \beta+2 \sin \beta \cos \beta+\cos ^{2} \beta+16 \cos ^{2} \beta-32 \cos \beta \sin \beta+16 \sin ^{2} \beta$
$=17-30 \sin \beta \cos \beta=17-15 \sin 2 \beta$ ，最大值为 32 ，所以 $|\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|_{\text {的最大值为 }} 4 \sqrt{2}$ 。
由 $\tan \alpha \tan \beta=16$ 得 $\sin \alpha \sin \beta=16 \cos \alpha \cos \beta$ ，即 $4 \cos \alpha \cdot 4 \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=0$ ，
所以 $\boldsymbol{a}_{\|} \boldsymbol{b}$ ．