（本小题满分 16 分） 设函数 f(x)=ln x-a…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
解：（1）$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-a \leqslant 0$ 在 $(1,+\infty)$ 上恒成立，则 $a \geqslant \frac{1}{x}, x \in(1,+\infty)$ ．
故：$a \geqslant 1$ ．
$g^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-a$,
若 $1 \leqslant a \leqslant \mathrm{e}$ ，则 $g^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-a \geqslant 0$ 在 $(1,+\infty)$ 上恒成立，
此时，$g(x)=e^{x}-a x$ 在 $(1,+\infty)$ 上是单调增函数，无最小值，不合；

若 $a>\mathrm{e}$ ，则 $g(x)=e^{x}-a x$ 在 $(1, \ln a)$ 上是单调减函数，在 $(\ln a,+\infty)$ 上是单

调增函数，$g_{\min }(x)=g(\ln a)$ ，满足．
故 $a$ 的取值范围为：$a>\mathrm{e}$ ．
> ②$g^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-a \geqslant 0$ 在 $(-1,+\infty)$ 上恒成立，则 $a \leqslant \mathrm{e}^{x}$ ，
故：$a \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-a x}{x} \quad(x>0)$.
（i）若 $0<a \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ，令 $f^{\prime}(x)>0$ 得增区间为 $\left(0, \frac{1}{a}\right)$ ；
令 $f^{\prime}(x)<0$ 得减区间为 $\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$ ．
当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x) \rightarrow-\infty$ ；当 $x \rightarrow+\infty$ 时，$f(x) \rightarrow-\infty$ ；
当 $x=\frac{1}{a}$ 时，$f\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a-1 \geqslant 0$ ，当且仅当 $a=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时取等号。
故：当 $a=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f(x)$ 有 1 个零点；当 $0<a<\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f(x)$ 有 2 个零点．
（ii）若 $a=0$ ，则 $f(x)=-\ln x$ ，易得 $f(x)$ 有 1 个零点．
（iii）若 $a<0$ ，则 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-a>0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，
即：$f(x)=\ln x-a x$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调增函数，
当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x) \rightarrow-\infty$ ；当 $x \rightarrow+\infty$ 时，$f(x) \rightarrow+\infty$ ．
此时，$f(x)$ 有 1 个零点．

综上所述：当 $a=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 或 $a<0$ 时，$f(x)$ 有 1 个零点；当 $0<a<\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f(x)$ 有 2 个零点．