已知 α, β, γ 是互不相同的锐角，则在 sin α…——2021 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式或排序不等式得 $\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \gamma+\sin \gamma \cos \alpha \leq \frac{3}{2}$ ，从而可判断三个代数式不可能均大于 $\frac{1}{2}$ ，再结合特例可得三式中大于 $\frac{1}{2}$ 的个数的最大值．

【详解】法1：由基本不等式有 $\sin \alpha \cos \beta \leq \frac{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta}{2}$ ，

同理 $\sin \beta \cos \gamma \leq \frac{\sin ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma}{2}, \sin \gamma \cos \alpha \leq \frac{\sin ^{2} \gamma+\cos ^{2} \alpha}{2}$ ，
故 $\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \gamma+\sin \gamma \cos \alpha \leq \frac{3}{2}$ ，
故 $\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha$ 不可能均大于 $\frac{1}{2}$ ．
取 $\alpha=\frac{\pi}{6}, \quad \beta=\frac{\pi}{3}, \quad \gamma=\frac{\pi}{4}$ ，
则 $\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}, \sin \beta \cos \gamma=\frac{\sqrt{6}}{4}>\frac{1}{2}, \sin \gamma \cos \alpha=\frac{\sqrt{6}}{4}>\frac{1}{2}$ ，
故三式中大于 $\frac{1}{2}$ 的个数的最大值为 2 ，
故选：C．
法2：不妨设 $\alpha<\beta<\gamma$ ，则 $\cos \alpha>\cos \beta>\cos \gamma, \sin \alpha<\sin \beta<\sin \gamma$ ，
由排列不等式可得：
$\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \gamma+\sin \gamma \cos \alpha \leq \sin \alpha \cos \gamma+\sin \beta \cos \beta+\sin \gamma \cos \alpha$,
而 $\sin \alpha \cos \gamma+\sin \beta \cos \beta+\sin \gamma \cos \alpha=\sin (\gamma+\alpha)+\frac{1}{2} \sin 2 \beta \leq \frac{3}{2}$ ，
故 $\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha$ 不可能均大于 $\frac{1}{2}$ ．
取 $\alpha=\frac{\pi}{6}, \quad \beta=\frac{\pi}{3}, \quad \gamma=\frac{\pi}{4}$ ，
则 $\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}, \sin \beta \cos \gamma=\frac{\sqrt{6}}{4}>\frac{1}{2}, \sin \gamma \cos \alpha=\frac{\sqrt{6}}{4}>\frac{1}{2}$ ，

故三式中大于 $\frac{1}{2}$ 的个数的最大值为 2 ，
故选：C．
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向。