2013 全国高考数学 2013_退役省自主命题 (2013·理) 第 19 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

（19）（本小题满分 13 分）

如图，圆锥顶点为 $P$．底面圆心为 $O$，其母线与底面所成的角为 $22.5^{\circ} . A B$ 和 $C D$ 是底面圆 $O$ 上的两条平行的弦，轴 $O P$ 与平面 $P C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$，
（I）证明：平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线平行于底面；
（II）求 $\cos \angle C O D$．
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Accepted Answer

(1) 由公理可知，两面相交必交于一条直线，设面 $P A B$ 与面 $P C D$ 的交线为 $l$ $\because C D / / A B$ $C D 
ot \subset$ 面 $P A B$，而 $A B \subset$ 千 $P A B$ $	herefore C D / /$ 面 $P A B$ 而 $C D \subset$ 面 $P C D$ 面 $P A B \cap$ 面 $P C D=l$ $	herefore l / / C D$ 而 $C D \subset$ 底面 $A B D C$ 所以，平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线 $\pi$，泜面; (2) ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/332b402f-2bf3-451c-9edd-013181c420c2-17.jpg?height=373&width=649&top_left_y=1763&top_left_x=274) 取 $C D$ 的中点 $E$，连接 $O E, P E$，则 $O E \perp C D, P E \perp C D$ $	herefore C D \perp$ 面 $O E P, C D \subset$ 底面 $A B D C$ $	herefore O E P \perp P C D$ 所以直线 $P O$ 在面 $P C D$ 上的射影为 $P E$ $	herefore \angle O P E=60^{\circ}$ 设 $O P=h$，则 $O E=O P \cdot 	an 60^{\circ}=\sqrt{3} h$ 由题意 $\angle O C P=22.5^{\circ}$ 则 $O C=\frac{h}{	an 22.5^{\circ}}$ 而 $	an 45^{\circ}=\frac{2 	an 22.5^{\circ}}{1-	an ^{2} 22.5^{\circ}}, \quad 	an .2 .5^{\circ}>0$，解得 $	an 22.5^{\circ}=\sqrt{2}-1$ $\cos \angle C O E=\frac{O E}{O C}=\frac{\sqrt{3} h}{\frac{h}{	an 22.5^{\circ}}}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$ $\cos \angle C O D=\cos 2 \angle C O E=2 \cos ^{2} \angle C O E-1=2(\sqrt{6}-\sqrt{3})^{2}-1=17-12 \sqrt{2}$

2013 高考数学第 19 题答案解析

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