（19）（本小题满分 13 分） 如图，圆锥顶点为 P ．…——2013 高考数学第 19 题答案解析

## 【答案】

①由公理可知，两面相交必交于一条直线，设面 $P A B$ 与面 $P C D$ 的交线为 $l$
$\because C D / / A B$
$C D \not \subset$ 面 $P A B$，而 $A B \subset$ 千 $P A B$
$\therefore C D / /$ 面 $P A B$
而 $C D \subset$ 面 $P C D$
面 $P A B \cap$ 面 $P C D=l$
$\therefore l / / C D$
而 $C D \subset$ 底面 $A B D C$
所以，平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线 $\pi$，泜面
②

取 $C D$ 的中点 $E$，连接 $O E, P E$，则 $O E \perp C D, P E \perp C D$
$\therefore C D \perp$ 面 $O E P, C D \subset$ 底面 $A B D C$
$\therefore O E P \perp P C D$

所以直线 $P O$ 在面 $P C D$ 上的射影为 $P E$
$\therefore \angle O P E=60^{\circ}$
设 $O P=h$，则 $O E=O P \cdot \tan 60^{\circ}=\sqrt{3} h$
由题意 $\angle O C P=22.5^{\circ}$
则 $O C=\frac{h}{\tan 22.5^{\circ}}$
而 $\tan 45^{\circ}=\frac{2 \tan 22.5^{\circ}}{1-\tan ^{2} 22.5^{\circ}}, \quad \tan .2 .5^{\circ}>0$，解得 $\tan 22.5^{\circ}=\sqrt{2}-1$
$\cos \angle C O E=\frac{O E}{O C}=\frac{\sqrt{3} h}{\frac{h}{\tan 22.5^{\circ}}}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$
$\cos \angle C O D=\cos 2 \angle C O E=2 \cos ^{2} \angle C O E-1=2(\sqrt{6}-\sqrt{3})^{2}-1=17-12 \sqrt{2}$
【解析】本题一反常态，考查旋转体的特征，考生一时有点迷惑，但只要静下心来，这道题其实不
难第（1）题，考生要知道两面相交之交于一弯直线 $l$，按着只需根据线线平行证明线面平行，而线线平行又要通过线面平行来证明，理顺立个关否，这道题就可以准确的证出了，通过这道题提醒考生课本上一些证明的定理和性质要熟结掌握。第（2）这，考生先要找出母线与底面所成的角是 $\angle C P O$，设 $O P$ 的长度表示出 $C O$，接着要能 $O P$ 与平面 $P C D$ 所成的角，利用这个角度求出 $\triangle C D O$ 高的长度，再利用三角函数二倍得公式，三角形中的位置关系最终求出 $\cos \angle C O D$ 的值。
【考点定位】考查空间直线上，直线，直线与平面，品酉与平面的位置关系，线面垂直，面面垂直，直线与面所成的角等知识。