（14分）（2016•江苏）在 ABC 中， AC =6,…——2016 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（14分）（2016•江苏）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AC}=6, \cos \mathrm{~B}=\frac{4}{5}, \mathrm{C}=\frac{\pi}{4}$ ．
（1）求 AB 的长；

（2）求 $\cos$（ $\mathrm{A}-\frac{\pi}{6}$ ）的值。
【分析】（1）利用正弦定理，即可求 AB 的长；
（2）求出 $\cos \mathrm{A} , \sin \mathrm{~A}$ ，利用两角差的余弦公式求 $\cos$（ $\mathrm{A}-\frac{\pi}{6}$ ）的值。
【解答】解：（1）$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \mathrm{B}=\frac{4}{5}$ ，
$\therefore \sin \mathrm{B}=\frac{3}{5}$ ，
$\because \frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{B}}$,
$\therefore \mathrm{AB}=\frac{6 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{5}}=5 \sqrt{2}$ ；
② $\cos \mathrm{A}=-\cos (\mathrm{C}+\mathrm{B})=\sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C}-\cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$ ．
$\because \mathrm{A}$ 为三角形的内角，
$\therefore \sin \mathrm{A}=\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，
$\therefore \cos \left(\mathrm{A}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \mathrm{~A}+\frac{1}{2} \sin \mathrm{~A}=\frac{7 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{20}$ ．
【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题。