已知直三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 中…——2021 高考数学第 19 题答案解析

由题意，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧面 $AA_1B_1B$ 为正方形，故 $BB_1 \perp AB$ 且 $BB_1 = AB = 2$。
因为 $A_1B_1 // AB$，且已知 $BF \perp A_1B_1$，所以 $BF \perp AB$。
又因为 $BB_1 \cap BF = B$，且 $BB_1, BF \subset$ 平面 $BCC_1B_1$，所以 $AB \perp$ 平面 $BCC_1B_1$。
进而可得 $AB \perp BC$。
综上，$BA, BC, BB_1$ 两两垂直。

以 $B$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BB_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。
由 $AB=BC=2, BB_1=2$ 及中点性质，各点坐标如下：
$B(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), B_1(0,0,2), A_1(2,0,2), C_1(0,2,2)$。
$E$ 为 $AC$ 中点，则 $E(1,1,0)$；
$F$ 为 $CC_1$ 中点，则 $F(0,2,1)$。
设 $D$ 为棱 $A_1B_1$ 上的点，令 $B_1D = a$ ($0 \le a \le 2$)。
因为 $B_1(0,0,2), A_1(2,0,2)$，且 $D$ 在 $A_1B_1$ 上，故 $D$ 的坐标为 $(a, 0, 2)$。（注：此处 $a$ 即为 $D$ 点的 $x$ 坐标，也是线段 $B_1D$ 的长度，因为 $B_1$ 在原点投影处，$A_1B_1$ 平行于 $x$ 轴）。

（1）证明：
$\overrightarrow{BF} = (0, 2, 1)$，
$\overrightarrow{DE} = E - D = (1-a, 1-0, 0-2) = (1-a, 1, -2)$。
计算数量积：
$\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{DE} = 0 \times (1-a) + 2 \times 1 + 1 \times (-2) = 0 + 2 - 2 = 0$。
因为数量积为 0，所以 $BF \perp DE$。

（2）解：
平面 $BB_1C_1C$ 即平面 $yOz$，其法向量可取 $\vec{n} = (1, 0, 0)$（或 $\overrightarrow{BA}=(2,0,0)$）。
设平面 $DFE$ 的法向量为 $\vec{m} = (x, y, z)$。
$\overrightarrow{EF} = F - E = (-1, 1, 1)$，
$\overrightarrow{DE} = (1-a, 1, -2)$。
由 $\begin{cases} \vec{m} \cdot \overrightarrow{EF} = 0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{DE} = 0 \end{cases}$ 得：
$\begin{cases} -x + y + z = 0 \quad \text{①} \\ (1-a)x + y - 2z = 0 \quad \text{②} \end{cases}$
由 ① 得 $y = x - z$，代入 ：
$(1-a)x + (x-z) - 2z = 0 \Rightarrow (2-a)x - 3z = 0 \Rightarrow z = \frac{2-a}{3}x$。
令 $x = 3$，则 $z = 2-a$，
$y = 3 - (2-a) = 1+a$。
故平面 $DFE$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (3, 1+a, 2-a)$。

设平面 $BB_1C_1C$ 与平面 $DFE$ 所成的二面角为 $\theta$，则
$|\cos \theta| = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{|3 \times 1 + (1+a) \times 0 + (2-a) \times 0|}{\sqrt{3^2 + (1+a)^2 + (2-a)^2} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{9 + (1+2a+a^2) + (4-4a+a^2)}} = \frac{3}{\sqrt{2a^2 - 2a + 14}}$。

要使二面角的正弦值 $\sin \theta$ 最小，需使余弦值的绝对值 $|\cos \theta|$ 最大（因为 $\theta \in [0, \pi]$，$\sin \theta \ge 0$，且 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，$\cos \theta$ 越大，$\sin \theta$ 越小）。
即求分母 $\sqrt{2a^2 - 2a + 14}$ 的最小值，也就是求二次函数 $f(a) = 2a^2 - 2a + 14$ 的最小值。
$f(a) = 2(a^2 - a) + 14 = 2(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{27}{2}$。
当 $a = \frac{1}{2}$ 时，$f(a)$ 取得最小值 $\frac{27}{2}$。
此时 $|\cos \theta|$ 取得最大值 $\frac{3}{\sqrt{\frac{27}{2}}} = \frac{3}{\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
对应的最小正弦值为 $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{6}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{3}{9}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
此时 $B_1D = a = \frac{1}{2}$。

故当 $B_1D = \frac{1}{2}$ 时，面 $BB_1C_1C$ 与面 $DFE$ 所成的二面角的正弦值最小。