已知直三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 中…——2021 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）见解析；②$B_{1} D=\frac{1}{2}$

## 【解析】

【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．

【详解】因为三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直三棱柱，所以 $B B_{1} \perp$ 底面 $A B C$ ，所以 $B B_{1} \perp A B$

因为 $A_{1} B_{1} / / A B, B F \perp A_{1} B_{1}$ ，所以 $B F \perp A B$ ，

又 $B B_{1} \cap B F=B$ ，所以 $A B \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ．

所以 $B A, B C, B B_{1}$ 两两垂直．

以 $B$ 为坐标原点，分别以 $B A, B C, B B_{1}$ 所在直线为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系，如图．

所以 $B(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), B_{1}(0,0,2), A_{1}(2,0,2), C_{1}(0,2,2)$ ，
$E(1,1,0), F(0,2,1)$.
由题设 $D(a, 0,2)(0 \leq a \leq 2)$ ．
（1）因为 $\overrightarrow{B F}=(0,2,1), \overrightarrow{D E}=(1-a, 1,-2)$ ，
所以 $\overrightarrow{B F} \cdot \overrightarrow{D E}=0 \times(1-a)+2 \times 1+1 \times(-2)=0$ ，所以 $B F \perp D E$ ．
②设平面 $D F E$ 的法向量为 $\vec{m}=(x, y, z)$ ，
因为 $\overrightarrow{E F}=(-1,1,1), \overrightarrow{D E}=(1-a, 1,-2)$ ，
所以 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{E F}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{D E}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}-x+y+z=0 \\ (1-a) x+y-2 z=0\end{array}\right.$ ．
令 $z=2-a$ ，则 $\vec{m}=(3,1+a, 2-a)$
因为平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的法向量为 $\overrightarrow{B A}=(2,0,0)$ ，
设平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $D E F$ 的二面角的平面角为 $\theta$ ，
则 $|\cos \theta|=\frac{|\vec{m} \cdot \overrightarrow{B A}|}{|\vec{m}| \cdot|\overrightarrow{B A}|}=\frac{6}{2 \times \sqrt{2 a^{2}-2 a+14}}=\frac{3}{\sqrt{2 a^{2}-2 a+14}}$ ．
当 $a=\frac{1}{2}$ 时， $2 a^{2}-2 a+4$ 取最小值为 $\frac{27}{2}$ ，
此时 $\cos \theta$ 取最大值为 $\frac{3}{\sqrt{\frac{27}{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
所以 $(\sin \theta)_{\min }=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
此时 $B_{1} D=\frac{1}{2}$ ．
【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出 $D(a, 0,2)(0 \leq a \leq 2)$ ，在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．