［选做题］在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题 1…——2009 高考数学第 20 题答案解析

［解析］

（第21－A题图）

四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分 10

本小题主要考查分。

证明：由 $\triangle A B C \cong \triangle B A D$ 得 $\angle A C B=\angle B D A$ ，故 $A , B , C , D$ 四点共圆，从而 $\angle C B A=\angle C D B$ 。再由 $\triangle A B C \cong \triangle$ BAD 得 $\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{DBA}$ 。因此 $\angle \mathrm{DBA}=\angle \mathrm{CDB}$ ，所以 $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$ 。

## B．选修4－2：矩阵与变换

求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ 的逆矩阵．
［解析］本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分 10 分。
解：设矩阵 A 的逆矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}x & y \\ z & w\end{array}\right]$ ，则 $\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x & y \\ z & w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ ，
即 $\left[\begin{array}{cc}3 x+2 z & 3 y+2 w \\ 2 x+z & 2 y+w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ ，故 $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 z=1,\left\{\begin{array}{l}3 y+2 w=0, \\ 2 x+z=0, \\ 2 y+w=1,\end{array}\right.\end{array}\right.$
解得：$x=-1, z=2, y=2, w=-3$ ，
从而 A 的逆矩阵为 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 2 & -3\end{array}\right]$ ．

C．选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线 C 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}} \\ y=3\left(t+\frac{1}{t}\right)\end{array},(t\right.$ 为参数，$t>0)$ ．
求曲线 C 的普通方程。
［解析］本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分 10 分。
解：因为 $x^{2}=t+\frac{1}{t}-2$ ，所以 $x^{2}+2=t+\frac{1}{t}=\frac{y}{3}$ ，
故曲线 C 的普通方程为： $3 x^{2}-y+6=0$ ．

D．选修4－5：不等式选讲
设 $a \geq b>0$ ，求证： $3 a^{3}+2 b^{3} \geq 3 a^{2} b+2 a b^{2}$ ．
［解析］本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分 10 分。
证明： $3 a^{3}+2 b^{3}-\left(3 a^{2} b+2 a b^{2}\right)=3 a^{2}(a-b)+2 b^{2}(b-a)=\left(3 a^{2}-2 b^{2}\right)(a-b)$ ．
因为 $a \geq b>0$ ，所以 $a-b \geq 0,3 a^{2}-2 b^{2}>0$ ，从而 $\left(3 a^{2}-2 b^{2}\right)(a-b) \geq 0$ ，
即 $3 a^{3}+2 b^{3} \geq 3 a^{2} b+2 a b^{2}$ ．
［必做题］第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。