（10分）如图，在正方形 ABCD 中， E , G 分别…——2016 高考数学第 22 题答案解析

【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．
【专题】14：证明题．
【分析】（I）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知 $\angle B C D=90^{\circ}$ ，因此问题可转化为证明 $\angle G F B=90^{\circ}$ ；
（II）在Rt $\triangle D F C$ 中，$G F=\frac{1}{2} C D=G C$ ，因此可得 $\triangle G F B \cong \triangle G C B$ ，则 $S_{\text {四边形 } B G F}=2 S_{\triangle B C G}$ ，据此解答。

【解答】（I ）证明：∵ $D F \perp C E$ ，
$\therefore \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{DFC} \sim \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{EDC}$ ，
$\therefore \frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{CD}}$ ，
$\because \mathrm{DE}=\mathrm{DG}, \quad \mathrm{CD}=\mathrm{BC}$ ，
$\therefore \frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{DG}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{BC}}$ ，
又 $\because \angle \mathrm{GDF}=\angle \mathrm{DEF}=\angle \mathrm{BCF}$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{GDF} \sim \triangle \mathrm{BCF}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{CFB}=\angle \mathrm{DFG}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{GFB}=\angle \mathrm{GFC}+\angle \mathrm{CFB}=\angle \mathrm{GFC}+\angle \mathrm{DFG}=\angle \mathrm{DFC}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{GFB}+\angle \mathrm{GCB}=180^{\circ}$ ，
$\therefore B, C, G, F$ 四点共圆．
（II）$\because \mathrm{E}$ 为 AD 中点， $\mathrm{AB}=1, \therefore \mathrm{DG}=\mathrm{CG}=\mathrm{DE}=\frac{1}{2}$ ，
∴ 在Rt $\triangle \mathrm{DFC}$ 中， $\mathrm{GF}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}=\mathrm{GC}$ ，连接 GB ，Rt $\triangle \mathrm{BCG} \cong \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BFG}$ ，
$\therefore S_{\text {四边形 } B G G F}=2 S_{\triangle B C G}=2 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ．

【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用。

## ［选项4－4：坐标系与参数方程］