有一组样本数据 x_ 1 , x_ 2 , , x_ 6，…——2023 高考数学第 9 题答案解析

【答案】BD

## 【解析】

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断．
【详解】对于选项 A：设 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数为 $m, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{6}$ 的平均数为 $n$ ，

则 $n-m=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}-\frac{x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}}{4}=\frac{2\left(x_{1}+x_{6}\right)-\left(x_{5}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)}{12}$ ，

因为没有确定 $2\left(x_{1}+x_{6}\right), x_{5}+x_{2}+x_{3}+x_{4}$ 的大小关系，所以无法判断 $m, n$ 的大小，

例如： $1,2,3,4,5,6$ ，可得 $m=n=3.5$ ；

例如 $1,1,1,1,1,7$ ，可得 $m=1, n=2$ ；
例如 $1,2,2,2,2,2$ ，可得 $m=2, n=\frac{11}{6}$ ；故 A 错误；
对于选项 $\mathrm{B}:$ 不妨设 $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq x_{4} \leq x_{5} \leq x_{6}$ ，
可知 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的中位数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{6}$ 的中位数均为 $\frac{x_{3}+x_{4}}{2}$ ，故 B 正确；
对于选项 C：因为 $x_{1}$ 是最小值，$x_{6}$ 是最大值，

则 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的波动性不大于 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{6}$ 的波动性，即 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的标准差不大于 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{6}$ 的标准差，

例如： $2,4,6,8,10,12$ ，则平均数 $n=\frac{1}{6}(2+4+6+8+10+12)=7$ ，

标准差 $s_{1}=\sqrt{\frac{1}{6}\left[(2-7)^{2}+(4-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(10-7)^{2}+(12-7)^{2}\right]}=\frac{\sqrt{105}}{3}$ ，
$4,6,8,10$ ，则平均数 $m=\frac{1}{4}(4+6+8+10)=7$ ，
标准差 $s_{2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left[(4-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(10-7)^{2}\right]}=\sqrt{5}$ ，
显然 $\frac{\sqrt{105}}{3}>5$ ，即 $s_{1}>s_{2}$ ；故 C 错误；
对于选项 D：不妨设 $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq x_{4} \leq x_{5} \leq x_{6}$ ，
则 $x_{6}-x_{1} \geq x_{5}-x_{2}$ ，当且仅当 $x_{1}=x_{2}, x_{5}=x_{6}$ 时，等号成立，故 D 正确；
故选：BD．