设复数 z_ 1 , z_ 2 满足 |z_ 1 |= |…——2020 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $2 \sqrt{3}$

## 【解析】

【分析】
令 $z_{1}=2 \cos \theta+2 \sin \theta \cdot i, z_{2}=2 \cos \alpha+2 \sin \alpha \cdot i$ ，根据复数的相等可求得
$\cos \theta \cos \alpha+\sin \theta \sin \alpha=-\frac{1}{2}$ ，代入复数模长的公式中即可得到结果．

【详解】 $\because\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=2$ ，可设 $z_{1}=2 \cos \theta+2 \sin \theta \cdot i, z_{2}=2 \cos \alpha+2 \sin \alpha \cdot i$ ，
$\therefore z_{1}+z_{2}=2(\cos \theta+\cos \alpha)+2(\sin \theta+\sin \alpha) \cdot i=\sqrt{3}+i$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}2(\cos \theta+\cos \alpha)=\sqrt{3} \\ 2(\sin \theta+\sin \alpha)=1\end{array}\right.$ ，两式平方作和得： $4(2+2 \cos \theta \cos \alpha+2 \sin \theta \sin \alpha)=4$ ，
化简得： $\cos \theta \cos \alpha+\sin \theta \sin \alpha=-\frac{1}{2}$
$\therefore\left|z_{1}-z_{2}\right|=|2(\cos \theta-\cos \alpha)+2(\sin \theta-\sin \alpha) \cdot i|$
$=\sqrt{4(\cos \theta-\cos \alpha)^{2}+4(\sin \theta-\sin \alpha)^{2}}=\sqrt{8-8(\cos \theta \cos \alpha+\sin \theta \sin \alpha)}$
$=\sqrt{8+4}=2 \sqrt{3}$

故答案为： $2 \sqrt{3}$ ．
【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，

将问题转化为三角函数的运算问题．