若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(0)=-1，其…——2015 高考数学第 10 题答案解析

【答案】C
【解析】由已知条件，构造函数 $g(x)=f(x)-k x$ ，则 $g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-k>0$ ，故函数 $g(x)$ 在 $R$ 上单调递增，且 $\frac{1}{k-1}>0$ ，故 $g\left(\frac{1}{k-1}\right)>g(0)$ ，所以 $f\left(\frac{1}{k-1}\right)-\frac{k}{k-1}>-1, f\left(\frac{1}{k-1}\right)>\frac{1}{k-1}$ ，所以结论中一定错误的是 C ，选项 D 无法判断；构造函数 $h(x)=f(x)-x$ ，则 $h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-1>0$ ，所以函数 $h(x)$ 在 $R$上单调迷增，且 $\frac{1}{k}>0$ ，所以 $h\left(\frac{1}{k}\right)>h(0)$ ，即 $f\left(\frac{1}{k}\right)-\frac{1}{k}>-1, f\left(\frac{1}{k}\right)>\frac{1}{k}-1$ ，选项 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 无法判断，故选 C．

【考点定位】函数与导数．
【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属＝于难题．