2026_山西选择性考试
14.已知球O的体积为 $V _ { 0 } = 4 \sqrt { 3 } \pi$ ，点A，B，C，D均在球表面上，若 $\triangle A B C$ 为正三角形，且$D A = D B = D C = { \sqrt { 2 } }$ ，则 $S _ { \triangle A B C } =$
14. 已知球O的体积为 $V _ { 0 } = 4 \sqrt { 3 } \pi$ ，点A，B，C，D均在球表面上，若△ABC为正三角形，且$D A = D B = D C = { \sqrt { 2 } }$ ，则 $S _ { \scriptscriptstyle \triangle A B C } =$
$\frac { 5 { \sqrt { 3 } } } { 4 }$
【答案】 $\frac { 5 { \sqrt { 3 } } } { 4 }$
【解析】
【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组
求解.
【详解】由球的体积公式， $V _ { 0 } = \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } = 4 \sqrt { 3 } \pi$ ，解得 $R = \sqrt { 3 }$ 设 $\triangle A B C$ 的外心为H，连接DH，
由题意知DH为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心O在DH上，
不妨设O在线段DH上，连接 $A O , D O , A H$
设 $\triangle A B C$ 的边长为 $\sqrt { 3 } x$ ，由正弦定理可得， $A H = { \frac { { \sqrt { 3 } } x } { 2 \sin 6 0 ^ { \circ } } } = x$
再设 $O H = y$ ，由题知， $\left\{ \begin{array} { l } { { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 3 } } \\ { { \phantom { - } } } \\ { { x ^ { 2 } + \left( y + \sqrt { 3 } \right) ^ { 2 } = 2 } } \end{array} \right. ,$
解得 $y = - \frac { 2 } { \sqrt { 3 } }$ (负值表示球心O在线段DH的延长线上，实际情况如右图)，所以 $x ^ { 2 } = \frac { 5 } { 3 }$ 报 考 1 普高 obao
由三角形面积公式， $S _ { \_ A B C } = \frac { 1 } { 2 } \times \left( \sqrt { 3 } x \right) ^ { 2 } \times \sin ^ { \circ } 6 0 ^ { \circ } = \frac { 5 \sqrt { 3 } } { 4 }$
