已知 f(x)= array l x^ 3 , x ≤ a…——2015 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $(-\infty, 0) \cup(1,+\infty)$ ．

【解析】

试题分析：分析题意可知，问题等价于方程 $x^{3}=b(x \leq a)$ 与方程 $x^{2}=b(x>a)$ 的根的个数和为 2 ，

若两个方程各有一个根：则可知关于 $b$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}b^{\frac{1}{3}} \leq a \\ \sqrt{b}>a \\ -\sqrt{b} \leq a\end{array}\right.$ 有解，∴ $a^{2}<b<a^{3}$ ，从而 $a>1$ ；

若方程 $x^{3}=b(x \leq a)$ 无解，方程 $x^{2}=b(x>a)$ 有 2 个根：则可知关于 $b$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}b^{\frac{1}{3}}>a \\ -\sqrt{b}>a\end{array}\right.$ 有解，从而 $a<0$ ，综上，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 0) \cup(1,+\infty)$ ．

【考点定位】1．函数与方程；2．分类讨论的数学思想．
【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数 $a$ 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力。

三．