已知命题 p：若 α, β 为第一象限角，且 α>β，则…——2023 高考数学第 13 题答案解析

【答案】
①．$\frac{9 \pi}{4}$
②．$\frac{\pi}{3}$

## 【解析】

【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解．
【详解】因为 $f(x)=\tan x$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增，若 $0<\alpha_{0}<\beta_{0}<\frac{\pi}{2}$ ，则 $\tan \alpha_{0}<\tan \beta_{0}$ ，
取 $\alpha=2 k_{1} \pi+\alpha_{0}, \beta=2 k_{2} \pi+\beta_{0}, k_{1}, k_{2} \in \mathbf{Z}$ ，
则 $\tan \alpha=\tan \left(2 k_{1} \pi+\alpha_{0}\right)=\tan \alpha_{0}, \tan \beta=\tan \left(2 k_{2} \pi+\beta_{0}\right)=\tan \beta_{0}$ ，即 $\tan \alpha<\tan \beta$ ，
令 $k_{1}>k_{2}$ ，则 $\alpha-\beta=\left(2 k_{1} \pi+\alpha_{0}\right)-\left(2 k_{2} \pi+\beta_{0}\right)=2\left(k_{1}-k_{2}\right) \pi+\left(\alpha_{0}-\beta_{0}\right)$ ，
因为 $2\left(k_{1}-k_{2}\right) \pi \geq 2 \pi,-\frac{\pi}{2}<\alpha_{0}-\beta_{0}<0$ ，则 $\alpha-\beta=2\left(k_{1}-k_{2}\right) \pi+\left(\alpha_{0}-\beta_{0}\right)>\frac{3 \pi}{2}>0$ ，
即 $k_{1}>k_{2}$ ，则 $\alpha>\beta$ 。
不妨取 $k_{1}=1, k_{2}=0, \alpha_{0}=\frac{\pi}{4}, \beta_{0}=\frac{\pi}{3}$ ，即 $\alpha=\frac{9 \pi}{4}, \beta=\frac{\pi}{3}$ 满足题意．
故答案为：$\frac{9 \pi}{4} ; \frac{\pi}{3}$ ．