（14分）如图，在三棱锥 A-B C D 中， A B A…——2017 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（14分）（ $2017 \cdot$ 江苏）如图，在三棱锥 $A-B C D$ 中，$A B \perp A D, B C \perp B D$ ，平面 $A B D \perp$ 平面 $B C D$ ，点 $E , F$（ $E$ 与 $A , D$ 不重合）分别在棱 $A D, B D$ 上，且 $E F \perp$ AD．

求证：（1）$E F / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）$A D \perp A C$ ．

【分析】（1）利用 $\mathrm{AB} / / \mathrm{EF}$ 及线面平行判定定理可得结论；
（2）通过取线段 CD 上点 G ，连结 $\mathrm{FG} , \mathrm{EG}$ 使得 $\mathrm{FG} / / \mathrm{BC}$ ，则 $\mathrm{EG} / / \mathrm{AC}$ ，利用线面垂直的性质定理可知 $F G \perp A D$ ，结合线面垂直的判定定理可知 $A D \perp$ 平面 $E F G$ ，从而可得结论。

【解答】证明：①因为 $A B \perp A D, E F \perp A D$ ，且 $A , B , E , F$ 四点共面，所以 $A B / / E F$ ，

又因为 $E F \subsetneq$ 平面 $A B C, A B \subseteq$ 平面 $A B C$ ，所以由线面平行判定定理可知：$E F / /$ 平面 $A B C$ ；
②在线段 CD 上取点 G ，连结 FG 、 EG 使得 $\mathrm{FG} / / \mathrm{BC}$ ，则 $\mathrm{EG} / / \mathrm{AC}$ ，
因为 $B C \perp B D$ ，所以 $F G / / B C$ ，
又因为平面 $A B D \perp$ 平面 $B C D$ ，
所以 $\mathrm{FG} \perp$ 平面 ABD ，所以 $\mathrm{FG} \perp \mathrm{AD}$ ，
又因为 $A D \perp E F$ ，且 $E F \cap F G=F$ ，
所以 $\mathrm{AD} \perp$ 平面 EFG ，所以 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{EG}$ ，
故 $A D \perp A C$ ．

【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．