已知 A B C 中，点 D 在边 B C 上， A D…——2022 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $\sqrt{3}-1 \# \#-1+\sqrt{3}$

## 【解析】

【分析】设 $C D=2 B D=2 m>0$ ，利用余弦定理表示出 $\frac{A C^{2}}{A B^{2}}$ 后，结合基本不等式即可得解．
【详解】设 $C D=2 B D=2 m>0$ ，
则在 $\triangle A B D$ 中，$A B^{2}=B D^{2}+A D^{2}-2 B D \cdot A D \cos \angle A D B=m^{2}+4+2 m$ ，

在 $\triangle A C D$ 中，$A C^{2}=C D^{2}+A D^{2}-2 C D \cdot A D \cos \angle A D C=4 m^{2}+4-4 m$ ，
所以 $\frac{A C^{2}}{A B^{2}}=\frac{4 m^{2}+4-4 m}{m^{2}+4+2 m}=\frac{4\left(m^{2}+4+2 m\right)-12(1+m)}{m^{2}+4+2 m}=4-\frac{12}{(m+1)+\frac{3}{m+1}}$

$\geq 4-\frac{12}{2 \sqrt{(m+1) \cdot \frac{3}{m+1}}}=4-2 \sqrt{3}$ ，
当且仅当 $m+1=\frac{3}{m+1}$ 即 $m=\sqrt{3}-1$ 时，等号成立，
所以当 $\frac{A C}{A B}$ 取最小值时，$m=\sqrt{3}-1$ ．
故答案为：$\sqrt{3}-1$ ．