2021_浙江卷 (2021)
17.
已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},(\vec{c} \neq \overrightarrow{0})$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2, \vec{a} \cdot \vec{b}=0,(\vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{c}=0$ 。记向量 $\vec{d}$ 在 $\vec{a}, \vec{b}$ 方向上的投影分别为 $x, y, \vec{d}-\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影为 $z$ ，则 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．
【答案】 $\frac{2}{5}$
## 【解析】
【分析】设 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(0,2), \vec{c}=(m, n)$ ，由平面向量的知识可得 $2 x+y-\sqrt{5} z=2$ ，再结合柯西不等式即可得解．
【详解】由题意，设 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(0,2), \vec{c}=(m, n)$ ，
则 $(\vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{c}=m-2 n=0$ ，即 $m=2 n$ ，
又向量 $\vec{d}$ 在 $\vec{a}, \vec{b}$ 方向上的投影分别为 $x, y$ ，所以 $\vec{d}=(x, y)$ ，
所以 $\vec{d}-\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影 $z=\frac{(\vec{d}-\vec{a}) \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}=\frac{m(x-1)+n y}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}=\frac{2 x-2+y}{ \pm \sqrt{5}}$ ，
即 $2 x+y \mp \sqrt{5} z=2$,
所以 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1}{10}\left[2^{2}+1^{2}+( \pm \sqrt{5})^{2}\right]\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \geq \frac{1}{10}(2 x+y \mp \sqrt{5} z)^{2}=\frac{2}{5}$ ，
当且仅当 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{\mp \sqrt{5}} \\ 2 x+y \mp \sqrt{5} z=2\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{2}{5} \\ y=\frac{1}{5} \\ z=\mp \frac{\sqrt{5}}{5}\end{array}\right.$ 时，等号成立，
所以 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 的最小值为 $\frac{2}{5}$ ．
故答案为：$\frac{2}{5}$ ．
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 $x, y, z$ 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值。