2025_新课标II卷
17． （15分）
如图，四边形 $A B C D$ 中，$A B / / C D, \angle D A B=90^{\circ}, F$ 为 $C D$ 中点，$E$ 在 $A B$ 上，$E F / / A D, A B=3 A D, C D=$ $2 A D$ ，将四边形 $E F D A$ 沿 $E F$ 翻折至四边形 $E F D^{\prime} A^{\prime}$ ，使得面 $E F D^{\prime} A^{\prime}$ 与面 $E F C B$ 所成的二面角为 $60^{\circ}$ 。
（1） 证明：$A^{\prime} B / /$ 平面 $C D^{\prime} F$ 。
（2） 求面 $B C D^{\prime}$ 与面 $E F D^{\prime} A^{\prime}$ 所成二面角的正弦值．
【解答】
（15 分）。如图，四边形 $A B C D$ 中，$A B \| C D, \angle D A B=90^{\circ}, F$ 为 $C D$ 中点，$E$ 在$A B$ 上，$E F \| A D, A B=3 A D, C D=2 A D$ 。将四边形 $E F D A$ 沿 $E F$ 翻折至四边形$E F D^{\prime} A^{\prime}$ ，使得面 $E F D^{\prime} A^{\prime}$ 与面 $E F C B$ 所成的二面角为
60°
（1） 证明：$A^{\prime} B \|$ 平面 $C D^{\prime} F$ ；
（2） 求面 $B C D^{\prime}$ 与面 $E F D^{\prime} A^{\prime}$ 所成二面角的正弦值．
【解答】①由 $E B / / F C, A^{\prime} E / / D^{\prime} F$ ，可得平面 $A^{\prime} E B / /$ 平面 $D^{\prime} F C$ ，又由 $A^{\prime} B \subset$ 平面 $A^{\prime} E B$
故 $A^{\prime} B / /$ 平面 $D^{\prime} F C$ ；
（2）由 $E F \perp A^{\prime} E$ 且 $E F \perp E B$ ，可知 $A^{\prime} E B$ 即为二面角的平面角，为 $60^{\circ}$不妨设 $A D=1$ ，在平面 $A^{\prime} E B$ 内，由点 $A^{\prime}$ 作 $E B$ 垂线，垂足为 $O$ ，可证 $A^{\prime} O \perp$ 底面 $E B C F, E O=\frac{1}{2}, O B=\frac{3}{2}$
如图建系，
$\overrightarrow{F E}=(1,0,0), \overrightarrow{E A^{\prime}}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ，设平面 $E F D^{\prime} A^{\prime}$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$
则有 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}=0 \\ \frac{1}{2} y_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} z_{1}=0\end{array}\right.$ ，取 $y_{1}=-\sqrt{3}, \overrightarrow{n_{1}}=(0,-\sqrt{3}, 1)$ ；
$\overrightarrow{C B}=(1,1,0), \overrightarrow{D^{\prime} B}=\left(1, \frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ，设平面 $B C D^{\prime}$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{2}}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，则有$\left\{\begin{array}{c}x_{2}+y_{2}=0 \\ x_{1}+\frac{3}{2} y_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2} z_{1}=0\end{array}\right.$ ，取 $y_{2}=\sqrt{3}$ ，则 $\overrightarrow{n_{2}}=(-\sqrt{3}, \sqrt{3}, 1)$
即平面 $B C D^{\prime}$ 与平面 $E F D^{\prime} A^{\prime}$ 成角 $\theta$ ，则有 $\cos \theta=\left|\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \times\left|\cdot \overrightarrow{n_{2}}\right|}\right|=\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，故 $\sin \theta=\frac{\sqrt{42}}{7}$ ．