（12分）如图，菱形 A B C D 的对角线 A C 与…——2016 高考数学第 19 题答案解析

【考点】MJ：二面角的平面角及求法．
【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5G：空间角．
【分析】（ I ）由底面 $A B C D$ 为菱形，可得 $A D=C D$ ，结合 $A E=C F$ 可得 $E F \| A C$ ，再由 $A B C D$ 是菱形，得 $A C \perp B D$ ，进一步得到 $E F \perp B D$ ，由 $E F \perp D H$ ，可得 $E F \perp D^{\prime} H$ ，然后求解直角三角形得 $\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{H} \perp \mathrm{OH}$ ，再由线面垂直的判定得 $\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{H} \perp$ 平面 ABCD ；
（II）以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到 $\overrightarrow{\mathrm{AB}} , \overrightarrow{\mathrm{AD}^{\prime}} , \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 的坐标，分别求出平面 $\mathrm{ABD}^{\prime}$ 与平面 $\mathrm{AD}^{\prime} \mathrm{C}$ 的一个法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}_{1}} , \overrightarrow{\mathrm{n}_{2}}$ ，设二面角二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{A}-\mathrm{C}$ 的平面角为 $\theta$ ，求出 $|\cos \theta|$ ．则二面角 $B-D^{\prime} A-C$ 的正弦值可求。

【解答】（I）证明：$\because \mathrm{ABCD}$ 是菱形，
$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{DC}$ ，又 $\mathrm{AE}=\mathrm{CF}=\frac{5}{4}$ ，
$\therefore \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{FC}}$ ，则 $\mathrm{EF} \| \mathrm{AC}$ ，
又由 $A B C D$ 是菱形，得 $A C \perp B D$ ，则 $E F \perp B D$ ，
$\therefore E F \perp D H$ ，则 $E F \perp D^{\prime} H$ ，
$\because \mathrm{AC}=6$,
$\therefore \mathrm{AO}=3$ ，
又 $A B=5, A O \perp O B$ ，
$\therefore \mathrm{OB}=4$ ，
$\therefore \mathrm{OH}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AD}} \cdot \mathrm{OD}=1$ ，则 $\mathrm{DH}=\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{H}=3$ ，
$\therefore\left|\mathrm{OD}^{\prime}\right|^{2}=|\mathrm{OH}|^{2}+\left|\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{H}\right|^{2}$ ，则 $\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{H} \perp \mathrm{OH}$ ，
又 $O H \cap E F=H$ ，
$\therefore \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{H} \perp$ 平面 ABCD ；

（II）解：以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
$\because A B=5, \quad A C=6$,
$\therefore \mathrm{B}(5,0,0), \mathrm{C}(1,3,0), \mathrm{D}^{\prime}(0,0,3), \mathrm{A}(1,-3,0)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(4,3,0), \overrightarrow{\mathrm{AD}^{\prime}}=(-1,3,3), \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(0,6,0)$ ，
设平面 $A B D^{\prime}$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}_{1}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{A B}=0 \\ \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{A D}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}4 x+3 y=0 \\ -x+3 y+3 z=0\end{array}\right.$ ，取 $x=3$ ，得 $y=-4, z=5$ ．
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{n}_{1}}=(3,-4,5)$ ．
同理可求得平面 $\mathrm{AD}^{\prime} \mathrm{C}$ 的一个法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}_{2}}=(3,0,1)$ ，
设二面角二面角 $B-D^{\prime} A-C$ 的平面角为 $\theta$ ，
则 $|\cos \theta|=\frac{\left|\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right|\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}=\frac{|3 \times 3+5 \times 1|}{5 \sqrt{2} \times \sqrt{10}}=\frac{7 \sqrt{5}}{25}$ ．
∴ 二面角 $\mathrm{B}-\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{A}-\mathrm{C}$ 的正弦值为 $\sin \theta=\frac{2 \sqrt{95}}{25}$ ．

【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．