设函数 f(x)=sin x+cos x(x R ) ．…——2021 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）$\pi$ ；（2） $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

## 【解析】

【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 $y=1-\sin 2 x$ ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；

②由三角恒等变换可得 $y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，再由三角函数的图象与性质即可得解。
【详解】①由辅助角公式得 $f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ ，
则 $y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{2}=\left[\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{3 \pi}{4}\right)\right]^{2}=2 \sin ^{2}\left(x+\frac{3 \pi}{4}\right)=1-\cos \left(2 x+\frac{3 \pi}{2}\right)=1-\sin 2 x$ ，
所以该函数的最小正周期 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ；
②由题意，$y=f(x) f\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cdot \sqrt{2} \sin x=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin x$
$=2 \sin x \cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right)=\sqrt{2} \sin ^{2} x+\sqrt{2} \sin x \cos x$
$=\sqrt{2} \cdot \frac{1-\cos 2 x}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x-\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2 x+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
由 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 可得 $2 x-\frac{\pi}{4} \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ ，
所以当 $2 x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ 即 $x=\frac{3 \pi}{8}$ 时，函数取最大值 $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．