记 S_ n 为等比数列 a_ n 的前 n 项和， q…——2025 高考数学第 9 题答案解析

【解答】
$S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$q$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 公比，$q>0, S_{3}=7, a_{3}=1$ ，则
A．$q=\frac{1}{2}$
B．$a_{5}=\frac{1}{9}$
C．$S_{5}=8$
D．$a_{n}+S_{n}=8$

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【解答】由已知条件

$$ S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{a_{3}}{q^{2}}+\frac{a_{3}}{q}+a_{3}=\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{q}+1=7 \Rightarrow \frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{q}-6=0 \Rightarrow\left(\frac{1}{q}+3\right)\left(\frac{1}{q}-2\right)=0 $$

又 $q>0$ ，则 $\frac{1}{q}=2 \Rightarrow q=\frac{1}{2}$ ，
故 $a_{1}=\frac{a_{3}}{q^{2}}=4, a_{n}=4 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-3}, S_{n}=8-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-3}$ ，

$$ a_{5}=a_{3} q^{2}=\frac{1}{4}, S_{5}=8-\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \neq 8, a_{n}+S_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-3}+8-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-3}=8, $$

综上 $A D$ 正确．