16． （15 分）
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，长轴长为 4 ，
（1） 求 $C$ 的方程；
（2） 过点（0，－2）的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A , B$ 两点，$O$ 为坐标原点．若 $\triangle O A B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求 $|A B|$ ．
（15 分） 已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^…——2025 高考数学第 16 题答案解析
2025_新课标II卷
完整解析 · 逐步详解
【解答】
（15 分）椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，长轴长为4。
（1） 求 $C$ 的方程；
（2） 过点（0，－2）的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$O$ 为坐标原点，若 $S_{\triangle O A B}=\sqrt{2}$ ，求 $|A B|$ ．
【解答】①$a=2, b=\sqrt{2}, c=\sqrt{2}$ ，椭圆方程为：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ；
② 设 $l: y=k x-2$ ，点 $P(0,-2)$ ，点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1 \\ y=k x-2\end{array}\right.$ 可得：$\left(2 k^{2}+1\right) x^{2}-8 k x+4=0$ ，其判别式为 $\Delta=32 k^{2}-16$ ，
$x_{1}+x_{2}=\frac{8 k}{2 k^{2}+1}, \quad x_{1} x_{2}=\frac{4}{2 k^{2}+1}>0$（两根同号），
由 $\Delta>0$ ，可得 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $k<-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
$S_{\triangle O A B}=S_{\triangle O P B}-S_{\triangle O P A}=\frac{1}{2} \times 2\left|x_{2}\right|-\frac{1}{2} \times 2\left|x_{1}\right|=\left|x_{2}-x_{1}\right|=\frac{\sqrt{\Delta}}{2 k^{2}+1}=\sqrt{2}$,
解得 $k^{2}=\frac{3}{2}$ ，
$|A B|=\sqrt{k^{2}+1}\left|x_{2}-x_{1}\right|=\sqrt{\frac{5}{2}} \times \sqrt{2}=\sqrt{5}$.
✅ 来源：2025年 · 全国 · 2025_新课标II卷 · 第 16 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验